複素数について

複素数が好きな方！！

複素数のおもしろさについて教えて下さい！！

No.3 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2004/08/19 02:01

１の３乗根って、３つあるんですよね。

・１
・(-1+√3i)/2
・(-1-√3i)/2
これらは全部、３回同じものを掛けると１になります。
次に、これらの根の実数部分ｘと虚数部分ｙをＸＹ座標系にプロットしてみましょう。
すると、
・(1, 0)
・(-1/2, √3i/2)
・(-1/2, -√3i/2)
の３点になりますね。
すると、これら３点は、原点中心で半径１の円を描いたとき、、座標(1,0)のところを始点にして、反時計回りに、
・０周
・３分の１周
・３分の２周
のところにあるんですよね。
あら不思議。

次に、１の４乗根は
・1
・i
・-1
・-i
の４つ。
これもプロット
・(1, 0)
・(0, 1)
・(-1, 0)
・(0, -1)
これらは、原点中心で半径１の円を描いたとき、(1,0)を始点として反時計回りに、
・０周
・４分の１周
・４分の２周
・４分の３周
のところにあります。
あら不思議。

同様のことが５乗根、６乗根・・・でも言えます。
１のｎ乗根は、図解で求めることが出来る、とも言えます。
（現に私は１の３乗根は、図解で覚えています。）

このことを初めて知ったとき、複素数の面白さに取り付かれたものです。




さて、これらが何を意味しているかと言うと、
絶対値１の複素数は、必ず半径１の円周上にあるということ、
（１のｎ乗根の絶対値は１なので、半径１の円周上にきます。）
また、絶対値１の複素数同士を掛け算すると、半径１の円周上をぐるぐる回るということです。
例えば「３分の２周」の３乗は３分の６周、すなわち、２周＝０周と同じこと＝(1,0)の場所


なお、以上のことを、Ｘ－Ｙ座標でなく、ｒ－θ座標で考えれば、オイラーの公式の概念につながります。

この回答へのお礼

ありがとうございました☆

参考になりました！

お礼日時：2004/08/20 04:49

No.5 回答者： tenro 回答日時： 2004/08/19 22:04

こういうのはいかがでしょう？

３次方程式x^3-6x-4=0をカルダノの解の公式でとくと、３つの解は
　　x = -3root(-2+2i)-3root(-2-2i)
　　x = -ω3root(-2+2i)-ω^23root(-2-2i)
　　x = -ω^23root(-2+2i)-ω3root(-2-2i)
となる。但し、3root(a)はaの３乗根を意味し、ωは1の３乗根=(-1+root(3)i)/2であるとする。これらの解を整理するには、-2±2iの３乗根求めなければならないが、これを求めると
　　3root(-2+2i)=1+i
　　3root(-2-2i)=1-i
となり、各々の解は
　　x = -2
　　x = 1+root(3)
　　x = 1-root(3)
と実数解となる。

上は、実数解のみを持つ３次方程式も、途中で複素数を経由しなければ解の公式で解が求まらない例となっています。これは、方程式を解く上で実数から複素数への数の世界の拡大が必然性を持ったものであることを示していると言えます。

この回答へのお礼

ありがとうございました☆

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お礼日時：2004/08/20 04:55

No.4 回答者： noname#108554 回答日時： 2004/08/19 10:13

いろいろありますが、分かりやすい御利益は、

実数の範囲では絶対に求められない定積分が求まること、かな。

例：∫[0,∞]sin(x^2)dx、∫[0,∞]sin(x)/xdxなど

この回答へのお礼

ありがとうございました☆

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お礼日時：2004/08/20 04:51

No.2 回答者： nich 回答日時： 2004/08/18 23:58

うーん、複素数は実数でないところ、実軸とは違う次元のものってことかなぁ。

だってさ、二乗して負になるなんて素晴らしいと思いませんか？

この回答へのお礼

参考になりました☆

ありがとうございました

お礼日時：2004/08/19 02:08

No.1 回答者： Kuro001 回答日時： 2004/08/18 23:19

オイラーの公式からかなぁ

例えば微分方程式の解を求める際に、実数方程式を複素数方程式に直して計算を簡略化したり…
実際には存在しない数を定義することによって新たな概念が生まれる、というのが複素数の醍醐味だと思いますが

この回答へのお礼

ありがとうございました☆

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お礼日時：2004/08/19 02:07