高校数学A 循環小数についての質問です！

分数をｍ/nで表すとします。ｎの素因数が２，５以外のものがあるときに、m/nは無限小数にはならずに循環小数になる理由を教えて下さい！
ご回答宜しくお願いします！<(_ _)>

質問者からの補足コメント

• 

  訂正です。
  「m/nは無限小数にはならずに循環小数になる」での、無限小数の使い方が間違っていることに気付きました。
  正しくは、
  「ｎの素因数が２，５以外のものがあるときに、m/nは必ず循環小数になる理由を教えて下さい！」です。

    補足日時：2017/03/28 13:14

No.5 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/29 15:32

>>整数になったらなぜ有限小数なのかがイマイチわからなかったのです。

循環が無限に続くなら、有限の10ᵏを掛けても整数に成らないでしょう？

例えば、0.1234なら、=1234/10000の事なんだから、10000を掛ければ1234。
0.123412341234････なら、10の何乗を掛けたって、小数点以下が残る。

>>鳩ノ巣の原理というやつですか？
そうです。

赤100枚、青100枚、黄100枚のカードが入ってる袋の中から、適当に4枚取ったら、同じ色のカードが必ず混じる。って事です。

この回答へのお礼

なるほど！分かりやすい回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/30 11:40

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/28 17:26

No.3 ○分母の素因数が2と5だけの場合。

を間違えたので訂正

分母はn=2ª･5ᵇと書け、aとbの大きい方をkとすると
(m/n)×10ᵏ＝(m/2ª･5ᵇ)×10ᵏが整数になる。つまり循環しない有限小数。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/28 15:25

余り小難しいことを言わずに、以下でイメージ出来ると思います。

○分母の素因数が2と5だけの場合。

分母はn=2ª･2ᵇと書け、aとbの大きい方をkとすると
(m/n)×10ᵏ＝(m/2ª･2ᵇ)×10ᵏが整数になる。つまり循環しない有限小数。

○分母が2と5以外の素因数を含む場合

分母がnだから、割り算の筆算で出る余りは、1～(n-1)のn-1通りしかないので、
n回の計算をすれば必ず前どれかと同じ余りに戻るからです。
そこから又同じ手順になる。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
二つ質問があります。
＞(m/n)×10ᵏ＝(m/2ª･2ᵇ)×10ᵏが整数になる。つまり循環しない有限小数。
ここで、整数になったらなぜ有限小数なのかがイマイチわからなかったのですが、整数にすることができるということは、小数部分が有限個しかないから有限小数である、という解釈であっていますか？
＞ 分母がnだから、割り算の筆算で出る余りは、1～(n-1)のn-1通りしかないので、n回の計算をすれば必ず前どれかと同じ余りに戻るからです。
これは鳩ノ巣の原理というやつですか？

お手数おかけしますが、ご回答よろしくお願いします！<(_ _)>

お礼日時：2017/03/29 14:03

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2017/03/28 14:35

m=33

n=30=2*5*3
m/n=33/30=11/10=1.1

ですが、これも循環小数扱いしますか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/30 11:40

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2017/03/28 13:41

有理数は有限小数か循環小数になる。

有限小数であれば10^kを掛けると整数になる。(10^k)/n は整数。nの素因数は2,5以外にはない。
循環小数になるのは、余りを10倍して割り算をし次の余りを出すという操作を最低n+1回行えばどこかで同じ余りになるので循環する。

あまり厳密な論証ではないけど、これでどうでしょうか。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/30 11:40