ｍの２乗+ｎの二乗が偶数ならば、ｍ+ｎは偶数である。この命題を証明せよ。っていうもんだいおしえて

Question

ｍの２乗+ｎの二乗が偶数ならば、ｍ+ｎは偶数である。
この命題を証明せよ。
っていうもんだいおしえてください！

think2nd · Accepted Answer

No5です　式の間違いに気づきました。(*´Д｀)
　m^2+n^2=(m+n)^2+2mn　と平気で変形して解説してしまいました。
　正しくはm^2+n^2=(m+n)^2-2mn
　です。
　m^2+n^2+2mn=(m+n)^2　と変形して

この左辺は偶数+偶数ですから、演算結果も偶数です。だから右辺も偶数である。このことが確信できますか。
と修正のうえ、ご理解ください。

think2nd · Answer

問題を教えることはできない。問題が問題だということは教えることができる。

中学生以上の思考力の持ち主と仮定して説明します。
　ここで用いているm,nは整数ですか自然数ですか。　例えば
　　m=√(2)+√(3)
　　n=√(2)ー√(3)
　とするとm^2+n^2=10となりますが、m+n=2√(2)　となります。これを偶数とは言いません。
　だから　m,nも整数と仮定しましょう。

証明するための基礎力を、確認しましょう。
　・整数nにおいて、n^2が偶数であるとしましょう。さて　判断してください。?
　　　"nは奇数ですか偶数ですか。"

整数は偶数か奇数かのいずれかです。nが偶数でないなら奇数ですし、
　　　nが奇数でないならnは偶数です。
　　n^2が偶数だというの縛りのもとで　nが奇数だと仮定しましょう2で割ると1余ってしまいますから
　　　　nはn=2k+１(kは整数)とおけます。
　n^2に代入します。n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1
　この右辺に注目すると2×（整数）+1となっています。つまりｎ＾２を2で割ると1余りますから、n^2は奇数となり前提条件のn^2が偶数だという縛りに矛盾します。この原因はnを奇数だと仮定したからです。
　nが奇数でないからｎは偶数だと確信するわけです。この論法を背理法といいます。

まとめると整数nにおいて、n^2が偶数ならばnは偶数です。
　(整数nにおいて、n^2が奇数ならばnは奇数であることの確認はあなたの腕に任せます。)

・整数＋整数、　整数×整数、　整数－整数　すべてこれらの演算結果が整数になることは大丈夫でしょうね

本題に移りましょう
　　　m^2+n^2=(m+n)^2+2nmと変形して右辺を眺めます。左辺は仮定から偶数です。
　　右辺の2mnを左辺に移項します。
　m^2+n^2ー2mn=(m+n)^2
　　この左辺は偶数から偶数を引いていますから、演算結果も偶数です。だから右辺も偶数である。このことが確信できますか。

次のステップ　　
　右辺においてm+n=A　とします。Aは整数になります。m^2+n^2ー2mn=A^2
　です左辺が偶数ですからA^2が偶数です。だから上の基礎知識よりAは偶数です。
　すなわちm+nが偶数だと証明できます。

asano_nagi · Answer

この問題の前に、「ある数の二乗が偶数なら、もとの数は偶数」というのを証明していれば、
m^2 + n^2 が偶数だから、
m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn
より、(m + n)^2 は偶数。
だから、m + n は偶数。 でOK。

UFCKY · Answer

m=1、n=√3の時、成立しないので、
m,nは整数という前提で考えます。

整数なので、偶数・奇数の組み合わせを考えます。
すなわち、以下の４パターンを考えます。
　①m=偶数、n=偶数　⇒ m^2+n^2=偶数＋偶数＝偶数、m+n=偶数
　②m=偶数、n=奇数　⇒ m^2+n^2=偶数＋奇数＝奇数、m+n=奇数
　③m=奇数、n=偶数　⇒ m^2+n^2=奇数＋偶数＝奇数、m+n=奇数
　④m=奇数、n＝奇数　⇒ m^2+n^2=奇数＋奇数＝偶数、m+n=偶数
従って、m^2+n^2＝偶数となるパターンは①、④の時であり、
このとき、m+n=偶数となる。
従って、題意は示された。

usa3usa · Answer

ややこしいこと考えずに、地道に、
　すべての場合をチェック
すればよいのでは？
　Nが奇数、偶数の２通り、
　Mが奇数、偶数の２通り、
ですので、高々４通りです。

tosa0824 · Answer

対偶で考えましょうか。
「AならばB」が成り立つときの対偶は、
「Bではないとき、Aではない」ですから、
「m+nが偶数ではないとき、m^2+n^2は偶数ではない」
が示せればよいことになります。
つまり、「m+nが奇数のとき、m^2+n^2は奇数である」…命題(1)
を証明すればよいことになります。
では、計算してみましょう。
(m+n)^2 = m^2 +2mn + n^2…①
また、m+nは奇数のとき、2k+1(kは整数)とおけるから、
(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1…②
てある。ここで、4k^2と4kはどちらも偶数なので、
4k^2 + 4k + 1は奇数。よって、(2k+1)^2は奇数となる。

①=②なので、m^2 +2mn + n^2は奇数となる。よって、m^2 + n^2は奇数となる。
よって、命題(1)は成り立つ。
これより、命題(1)の待遇「m^2 + n^2が偶数のとき、m+nは偶数である」が成り立つ。(証明終わり)

ｍの２乗+ｎの二乗が偶数ならば、ｍ+ｎは偶数である。 この命題を証明せよ。 っていうもんだいおしえて

No5です 式の間違いに気づきました。

問題を教えることはできない。

この問題の前に、「ある数の二乗が偶数なら、もとの数は偶数」というのを証明していれば、

m=1、n=√3の時、成立しないので、

ややこしいこと考えずに、地道に、

対偶で考えましょうか。

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