無限級数の和について。写真の(1)のS(2n-1)の求め方が分かりません。第2n-1項だから、1-1

Question

無限級数の和について。写真の(1)のS(2n-1)の求め方が分かりません。第2n-1項だから、1-1/2+1/2…と最初の方はわかるのですが、最後はなぜ-1/n+1/nなのでしょうか。
-1/(2n-1)+1/(2n-1)ではないのでしょうか。

yhr2 · Accepted Answer

No.1です。「補足」に書かれたことについて。

＞2n-1のところを2nに変えて、同じように考えて計算すると最後は-1/n+1/nになるということですか？

「2n-1」というのは、意図的に「奇数の場合」で書いているのです。

「2n-1のところを2nに変えて」なら、意図的に「偶数の場合」ということで、この場合には最後は
　　-1/n + 1/n - 1/(n+1)
になります。

「-1/n」が偶数番目（＝ 2(n - 1) 番目）、「+1/n」が奇数番目（＝ 2(n - 1) + 1 = 2n - 1 番目）ということです。

sc348253 · Answer

2nー1は、奇数 2nは偶数で、数列は、偶奇偶奇………ですから
取り立てて、2nー1でしなくても、nとnー1で考えてよいでしょう！
確かに数学は厳密な学問ですが、自由性ももっていますので、
nで考えていいでしょう！Snのnと2nー1のnを同じと考えなくてもいいのでは！

追記
S2nー1が求めやすいと記載してあることから、
この解答者の考えで考えると、
仮に、S2nー1を前のSnと同値(全く同じではなく、一般的という意味において)
と考えると、S2nは、第n+1項と考えられるし、確かに計算も楽でしょう！
ですから、私なら、同じnを使わずに、kを使って区別しますが！

sc348253 · Answer

2nー1は、奇数 2nは偶数で、数列は、偶奇偶奇………ですから
取り立てて、2nー1でしなくても、nとnー1で考えてよいでしょう！
確かに数学は厳密な学問ですが、自由性ももっていますので、
nで考えていいでしょう！Snのnと2nー1のnを同じと考えなくてもいいのでは！

yhr2 · Answer

ここでの定義として、
　(1/n - 1/n)
を「第 (n + 1) 項」とはしていません。それだけのことです。

第1項＝１
第2項＝ -1/2
第3項＝ 1/2
第4項＝ -1/3
第5項＝ 1/3
　･･･
第2n-1項= 1/n

です。勝手に自分で定義しないように。

No.1です。