以前の質問
「円周率は無理数なので無限に循環することはないですが、有限回で終わるループならある可能性はありますか?
例えば
有理数 1/7は0.142857 142857...と無限に循環しますが
無理数がたまたま数回だけループして0.142857 142857 3195634918...などとなる可能性もあります
だから
円周率でも何兆、何京桁と調べていけばこういうループは見つかる可能性がありますか?」
に対して、「不明としか言いようがない」との回答をいただきました。
しかし、円周率は定数なので、確定しないとは考えられないと思いました。
現在では証明できないという意味で不明とおっしゃった場合、そうなる確率だけ求めることは可能ですか?
質問は説明不足でしたが、数列のどこかに繰り返しではなく、初めの連続した2ブロック以上が同じ列であるということです
(0.123123...は良いが0.0123123...はなし)
また、円周率が完全にランダムであることはまだ証明されていませんが、ランダムであると仮定して話を進めてください
ループを確かめる手順は
まず円周率の初めは3.1です。
もし次が1で3.11ならば、1桁のループが成立するが、実際には3.14なので次を見る。3.1414だったら2桁のループが成立するが、実際には3.1415だから成り立たない。
1桁目と4桁目が違うので3桁のループはない。次を見て3.14151415の場合、4桁のループだがそれも違う。これをループができるまで無限に見ていく
チャンスを逃す度、次にループができる確率は天文学的に下がっていきますが、それでも決して0にはなりません。ならばいつかループが起こるか、ということです
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
>円周率は定数なので、確定しないとは考えられない
おっしゃるとおりです. なので, 確率は0か1のどちらかです. どちらなのかは, 恐らくまだ誰にも証明されていないでしょう.
その上で, 質問者の方が気にしていることは, 恐らく次の問題ではないかと推察します:
「r を 0≦r<1 の範囲の一様乱数とする. r において "ループが見つかる" 可能性はいくらか.」
(注: 小数を十進展開する際, 「0.6768000...=0.6767999...」のように 2 通りに表せるケースがあります. このような場合, 前者の表し方だとループがなく, 後者の表し方だとループがあることになります. しかし, r がこのように 2 通りに表せる確率は 0 なので, このようなケースについて気にする必要はありません.)
この問題について考えてみたのですが, 結論からいうとよくわかりませんでした.
r は一様乱数なので, 任意の正整数 n に対し, 小数第 n 位が 0, 1, ..., 9 である確率は 1/10 です.
【1 桁のループが成立する確率】
小数第 1 位 = 小数第 2 位 となればよいので, 1/10 × 1/10 × 10 = 1/10
【2 桁のループが成立する確率】
小数第 1 位 = 小数第 3 位, 小数第 2 位 = 小数第 4 位 となればよいので, 1/100
…
と考えていくと, n 桁のループが成立する確率は 1/10^n です.
これを n=1,2,3,..., と単純に無限に足し合わせていくと 1/9 になります. しかし, 例えば「2桁のループと5桁のループが両方成立している」といった可能性もあるので, "ループが見つかる" 確率は 1/9 よりは小さいことになります. が, 厳密な値を求めるのはちょっと面倒そうな気がしました. (勘違いかもしれません.)
ご回答ありがとうございます。ループするかは計算では証明できないが確率は100%ではないということですね。そこで教えていただいた確率の計算方法を元に少し考えてみました
※以下は推測であり厳密には証明できていません
まず、仮に桁数3以下のループ確率を以下のように場合分けして求めた。(全2^3=8通り)
① 1桁のループはあり2,3桁のループはない確率
(1/10) × (99/100) × (999/1000)
=0.098901...
② 2桁でループ、1,3桁はなし
(9/10) × (1/100) × (999/1000)
=0.008991...
③ 3桁でループ、1,2桁はなし
(9/10) × (99/100) × (1/1000)
=0.000891…
④ 1~3桁のどのループもない
(9/10) × (99/100) × (999/1000)
=0.890109...
以下省略
以上8通り全ての合計値が1であったことから計算方法に間違いはない可能性が高い
④より、無限桁の中にループがない確率は
(9/10) × (99/100) × (999/1000) × (9999/10000) × … × {(10^n-1)/(10^n)} × …
=0.890011…
したがって、無限桁の中にループがある確率は
1-0.890011...
=0.109988...
=1/9.091825…
となりほぼ1/9に一致しました。
No.4
- 回答日時:
円周率を10進表示したとき、「7」が1万個連続して出現することはあるか?
→不明としか言いようがない。確率は1かしら?
円周率を10進表示したとき、小数1桁目からn桁目と、n+1桁目から2n桁目が一致するようなnはあるか?
→不明としか言いようがない。
任意の無理数ならもしかして11.1%?
でも、πはかなりの桁数まで知られているからねぇ・・・、限りなくゼロでは?
円周率を2進表示したとき、小数1桁目からn桁目と、n+1桁目から2n桁目が一致するようなnはあるか?
→ある。n=1. π=11.001・・・
以上、無知な素人の単なるツブヤキです。
No.3
- 回答日時:
ランダムって何?。
同じ並びがあったらいけないの?。
日本語の無作為と似たものとすれば、偶然も無作為ですよ。
無限・・を持ち出せば、なんでもあり、というより否定は不可能ですよ、悪魔の証明と同じです。
考え方によれば無限=なし、いう考え方もあります。
No.2
- 回答日時:
前回の質問はこれですかね。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9787699.html
>質問は説明不足でしたが、数列のどこかに繰り返しではなく、初めの連続した2ブロック以上が同じ列であるということです
>(0.123123...は良いが0.0123123...はなし)
なるほど、そういう意味ですか。
>円周率が完全にランダムであることはまだ証明されていませんが、ランダムであると仮定して話を進めてください
ランダム数列であるなら、仰るようなループができる確率は1ですね。
円周率という特定の数にループがあるかどうかは不明です。
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