tan(x/2)=tと置く置換積分について

こんにちは．置換積分で困った問題があるので質問させていただきます．

∫√(1-cosx)dxで，積分範囲は0→2πです．
自分はtan(x/2)=tとおく置換積分でやろうと思い，tanθはθ=πで不連続なのでxの積分範囲を0→πとπ→2πに分けて考えました．
しかしそうすると最終的に(2√2*t)/(1+t^2)^(3/2)，という奇関数を−∞→∞で積分することになってしまい，答えが０になってしまいます．

解答は違った置換で積分しており，答えは4√2となります．
どなたかtan(x/2)=tとおく置換方法で解いていただけないでしょうか．

質問者からの補足コメント

• 訂正です．
  (誤)>>自分はtan(x/2)=tとおく置換積分でやろうと思い，tanθはθ=πで不連続なのでxの積分範囲を0→πとπ→2πに分けて考えました．
  (正)>>自分はtan(x/2)=tとおく置換積分でやろうと思い，tan(x/2)はx=πで不連続なのでxの積分範囲を0→πとπ→2πに分けて考えました．

    補足日時：2017/08/12 01:27

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/08/12 07:28

こうなりませんか。

　置換後の被積分関数をf(t)=(2√2*t)/(1+t^2)^(3/2)と置きます。

∫[0→2π]√(1-cosx)dx
=∫[0→π]√(1-cosx)dx + ∫[π→2π]√(1-cosx)dx
=∫[0→∞]f(t)dt + ∫[-∞→0]∫{-f(t)}dt　　←※
=∫[0→∞]f(t)dt - ∫[-∞→0]∫f(t)dt
よって、-∞→∞の積分にはなりません。

※の部分ですが、置換後の被積分関数は、

　　2√(2t^2) / (1+t^2)^(3/2)

となりますが、分子の√を外すときにtの符号に注意する必要があり、
※の第1項はt≧0ですから分子は2√2*tですが、第2項ではt≦0ですから、
分子は、-2√2*tになります。この点で間違えているのでは？

この回答へのお礼

再び回答ありがとうございます．
確かにそうでした！！±√・・・になるときは気をつけていたのですが√(t^2)からtにするときもそうですね！
ありがとうございます，おかげさまで間違いに気づくことができましたm(_ _)m

お礼日時：2017/08/12 13:45

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/08/12 00:02

0≦θ≦2πの範囲で、tanθは、θ=π/2、3π/2の2点で不連続になるから、積分範囲を

0→π/2、π/2→3π/2、3π/2→2πの3つに分ける必要がある。
置換の問題ではなく、積分範囲の設定の問題。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．
すみません，質問文中に非常にわかりづらい箇所があったので訂正させていただきました．
確かにtanθはθ=π/2,3π/2で不連続ですが今回はtan(x/2)と置いているので0<x<2πでの不連続点はx=πのみとなりますよね？

お礼日時：2017/08/12 01:31