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初等幾何学で相似というのはどのように証明されたのでしょうか?
初等幾何学では数という概念を用いないそうですが、2つの図形が相似な関係にあることを証明する方法はあったのでしょうか?

A 回答 (3件)

普通に中学校の教科書を見ることをおすすめします。

子供でも分かるように説明されいます。
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初頭幾何学も数(という概念)の存在を前提にしていますよ。


例えば、
同一平面上にある相異なる「2」点A、Bを通る直線はただ「1」つである
では、少なくと、1つ、2つと数えられることを前提としています。

質問者が質問したいのは、たとえば、線分の長さや角度、面積といった量のことだと思います。
これらを含まない部分もありますが、初等幾何学はこれらの量の存在、量の演算、最低でも足し算ができることを前提としていますよ。
そうでないと、線分の長さが等しいとか、等しくないとか、それすら議論できなくなってしまいます。

初等幾何学のオリジナル版、大本のユークリッドの幾何学では、相似は面積を用いて議論を展開するんですよ。
たとえば、
http://dspace.lib.niigata-u.ac.jp/dspace/bitstre …
の4〜5ページ目に書いてあります。

「ピタゴラスの定理の証明に面積を使うのは・・・」という質問が出ているようですが、相似に関する理論は面積をもとに展開されるので、直角三角形の相似をつかってピタゴラスの定理を証明するよりもより面積を使ったピタゴラスの定理の証明のほうがより根源的な証明ということもできます。
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合同条件の証明から入った方が良いと思ぃますよ。


全然思いだせないけど「原論」に証明が
載ってたはず。
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Q3^m - 1 (mが奇数) を素因数分解した時の2の指数は何かという問題について 回答はもっと上手

3^m - 1 (mが奇数) を素因数分解した時の2の指数は何かという問題について

回答はもっと上手いやり方で9÷8=1…1 を使ってやっていましたが思いつかなかったので数学的帰納法でやりました
果たして証明できているか不安です
ご確認お願いします

①m=1のとき 3^1 -1 =2
より素因数分解した時の2の指数は1である

②m=kのとき(kは奇数)
3^k -1= 2×(奇数A) とすると
3^(k+2) -1= [2×(奇数A) +1]×9 -1
=2×[ (奇数A)×9 -8]

となり[]内の値は奇数であるからm=k+2の時も素因数分解した時の2の指数は1である

①②より全ての奇数の自然数mについて3^m -1を素因数分解した時の2の指数は1である

Aベストアンサー

x^n -1=(x-1){x^(n-1) +x^(n-2) +… +x^2 +x +1}
という展開式に当てはめれば、

3^m -1
=(3-1){3^(m-1) +3^(m-2) +… +3^2 +3 +1}
=2{3^(m-1) +3^(m-2) +… +3^2 +3 +1}
とできる。

3の累乗は常に奇数であり、
3^0 の項から 3^(m-1) の項までm個(奇数個)あるので
{}内は奇数を奇数個足し合わせになることから、奇数。

よって、mが奇数のとき 3^m -1 は、2×奇数 で表される。
したがって、2の指数は1だといえる。


----------
奇数 +偶数 =奇数 ということを
きちんと説明できていれば、証明できていると言えるでしょうね。

Q√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-6 この計算のどこがおかしいですか?

今高校数学2 複素数と二次方程式 の範囲を勉強しているのですが、
√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6  
この式のどこが間違っているのか分かりません!教えて下さい!
ご回答宜しくお願いします!

Aベストアンサー

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」とがOKなことと
「負の数の根号」×「負の数の根号」の“計算”が
今まで通りOKなことは違うということです。

つまり、根号の中身が負のときには
√a × √b = √ab 
とは計算してはいけないということ。

数学Ⅰの教科書を見てください。
性質★ a>0 b>0 のとき √a × √b = √ab
と書いてありますよね!

√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6 

の計算式では左から2つめの=が誤っていて、それ以外の=は正しいです。
--------------------------------------------------

No4の回答について

> √(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6 だから。 ☆

2つ目の=と3つ目の=が計算の性質★に違反しています。

>この部分を√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=i√(2)i√(3)としてはダメな理由を教えて頂けませんか?
ダメでなく、正しいです。(これは自信を持ってください!)
でも数式☆では2つめの=がNGだから、√6とは等しくありませんね!

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

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根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
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これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
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Q分数という概念について初歩的な質問です。

分数の概念について、初歩的なことがよくわからなくなりました。
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普通、りんごが2分の1個あると言われたら、りんご半切れを想像しますよね。
そこがよくわかりません。どんな条件や式が頭の中で省略されているのでしょうか?

また、仮にりんご3個を2とした時に、2分の1あると言われたら、どうなるのでしょうか?
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初歩的な質問ですいません。

Aベストアンサー

前に回答された内容を見ていませんが、とりあえず書いておきます(^^;)
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>というのは分数というのは本来、比を表すものですよね?

そうとは限りません。分数の解釈として、割り算の商、分割、割合、比 等があります
数学で混乱する原因の一つとして、数式を(日常生活での)固定された意味でとらえようとする見方があります
数式をどのように使うかは、人間次第で、時と場面・用途によって意味が異なってきます

>普通、りんごが2分の1個あると言われたら、りんご半切れを想像しますよね。
>そこがよくわかりません。どんな条件や式が頭の中で省略されているのでしょうか?

これは数学上の問題ではありません・・・人間側の話です
人がよく使う表現の中では、りんご半切れのことを「りんごが2分の1個」と数学の用語を使って表すから、だから”半切れ”の事なんです

>また、仮にりんご3個を2とした時に、2分の1あると言われたら、どうなるのでしょうか?
>全体数がわからない限り答えの出しようがないのではないのでしょうか?

その通りです。
例えば、りんご農家に行って、「半分のりんごを下さい」って言います・・・すると、半分は1個の?1パレットの?1箱の?農園全体の?って、意味が通らないと思います
何の”半分”なのかハッキリしない限り、答えが出ないのは当たり前です

数学で 1/2 と書いた場合は、単に有理数を表します・・・これ以上でも、これ以下でもありません・・・比を表しているとも言えません
この 1/2 をどのように使い、どのように解釈するかは、人間がどの様に扱っているかに依存します

>りんごが2分の1個ある。という言い方はできるのでしょうか?

できます。言いたい事は分かるのですが、厳密な数学の話では無く、日常生活での数学の”利用”の話だからです

前に回答された内容を見ていませんが、とりあえず書いておきます(^^;)
a を b で割った商をa/b と書いて、コレを分数と呼びます・・・これだけです(^^A)

>というのは分数というのは本来、比を表すものですよね?

そうとは限りません。分数の解釈として、割り算の商、分割、割合、比 等があります
数学で混乱する原因の一つとして、数式を(日常生活での)固定された意味でとらえようとする見方があります
数式をどのように使うかは、人間次第で、時と場面・用途によって意味が異なってきます

>普通、りんご...続きを読む

Q弧度法で弧の長さと面積をだす公式が腑に落ちません

弧度法で弧の長さと面積をだす公式が腑に落ちません

弧の長さは、半径 x 中心角(ラジアン)

面積は、半径 x この長さ x 1/2


とのことですが、なぜ上記の公式で、弧の長さと、面積を求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

π:円周率

中心角(ラジアン) =2π × 中心角(°) /360°
ということを知っていれば、

弧の長さ:半径 × 中心角(ラジアン) =半径 × 2π × 中心角(°) /360°
     =直径 × π × 中心角(°) /360°
この式から、弧の長さは
「直径 × 円周率」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

そして、
扇形の面積:半径 × 弧の長さ × 1/2 =半径 × 半径 × 2π × 中心角(°) /360° × 1/2
      =π × 半径 × 半径 × 中心角(°) /360°
と計算式を変形すれば、ここから
「円周率 × 半径 × 半径」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

よって、このようにすると
「直径 × 円周率」が円の円周の長さ、
「円周率 × 半径 × 半径」が円の面積であることはすでに習っているはずなので
計算式上で理解しやすいはずです。


さて、ではなぜラジアンを使うのでしょうかという問いですが、
実は半径1の円において、円周の長さが2π(ラジアン)であることに関係しています。
半径1の円の弧の長さ
=円周の長さ × 中心角の割合 =2π × 中心角の割合
=中心角(ラジアン)
ここから、弧の長さ=半径×中心角(ラジアン)が導かれるのです。
きちんと理解ができていれば、ラジアンを使ったほうが簡単だったというだけですね。


扇形の面積に関しては、計算式から求めても構わないのですが、
直感的には、No.4のかたの言うように、三角形に細分化したものを考えます。

同じ扇形を二つ用意して、これを小さな扇形にカットしたものを想像してください。
そしてそれを交互に組み合わせていきます。
 ~~~~
/    /
~~~~
カットの仕方が大きいと上の図のようになりますが、
より微細にカットしたものを使うことによって、
| ̄ ̄ ̄|
|   |
  ̄ ̄ ̄
というように、だんだん長方形に近づいていきます。
このとき、底辺が弧の長さ、高さが半径に近づいていきます。
こうすることによって、
扇形の面積(の2個分)は弧の長さ × 半径 と表されるのです。
すなわち、
扇形の面積=弧の長さ × 半径 ÷2
という式が導かれるわけです。

この作業をしているのが積分なのですが、それは割愛します。

π:円周率

中心角(ラジアン) =2π × 中心角(°) /360°
ということを知っていれば、

弧の長さ:半径 × 中心角(ラジアン) =半径 × 2π × 中心角(°) /360°
     =直径 × π × 中心角(°) /360°
この式から、弧の長さは
「直径 × 円周率」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

そして、
扇形の面積:半径 × 弧の長さ × 1/2 =半径 × 半径 × 2π × 中心角(°) /360° × 1/2
      =π × 半径 × 半径 × 中心角(°) /360°
と計算式を変形すれば、ここから
「円周率 × 半径 × 半径」に中心角...続きを読む

Qなぜ1m+1m=2mなのですか? そう定義したからですか?

なぜ1m+1m=2mなのですか?
そう定義したからですか?

Aベストアンサー

どうも、先の回答は、「有名・著名な原理や法則といえども証明できるものではない」という狭い意味にとらえられてしまうかもしれませんが、文意は「有名・著名なものからごく身近なものまで、すべて原理・法則というものは証明の対象ではない」というものです。

実際、エネルギと質量の交換が行われる局面ではエネルギ保存則、質量保存の法則はそれぞれ単独では成り立たず双方を考慮した修正が行われます。
万有引力の法則も、引力が大きくなると修正(誤差を許容できなくなる)が必要です。

3時間前に時速4kmで出発した弟を、お兄さんが時速16kmの自転車で追いかけるときの追いつく時刻についても、単純な引き算・割り算「ex4×3÷(16-4)」だけでなく、観測者がだれなのかといった視点も含め一般相対論による修正が厳密には必要でしょう。


付言するならば、「算数」という教科は、この世の「自然に受け入れられている身の回りの法則・原理について学ぶ(つべこべ言わずに覚える)教科」であり、「数学」はこの世の法則にとどまらず、厳密な意味での「数の体系」についても学ぶ(厳密性を追求し、証明を求める)教科です。

どうも、先の回答は、「有名・著名な原理や法則といえども証明できるものではない」という狭い意味にとらえられてしまうかもしれませんが、文意は「有名・著名なものからごく身近なものまで、すべて原理・法則というものは証明の対象ではない」というものです。

実際、エネルギと質量の交換が行われる局面ではエネルギ保存則、質量保存の法則はそれぞれ単独では成り立たず双方を考慮した修正が行われます。
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Qこの最初の文ってV(動詞)がないですよね? こういう文ってなんていうんですか? また、こういう文って

この最初の文ってV(動詞)がないですよね?

こういう文ってなんていうんですか?
また、こういう文ってどういう構造になっているんですか、ルールも教えてください(副詞句になる的な)

Aベストアンサー

補足です。
この主語だけの文章のように、文法が成り立っていない文章のことを、「(Sentence)Fragments(文断片)」と言います。
使い方によっては効果的な表現が可能ですが、やはり読み手に誤解を与えることが多いので、論文などのフォーマルな文章では滅多に使われることはありません。小説などで、稀にみられる表現です。
日本語で言う、名詞止め、体言止め みたいなものです。
「白い空!青い海!私はこの街が大好きだ!」
日本語でもこう言う文章があります。あえて文法をくずすことで、リズム感や臨場感ど

Q以前の質問 「円周率は無理数なので無限に循環することはないですが、有限回で終わるループならある可能性

以前の質問

「円周率は無理数なので無限に循環することはないですが、有限回で終わるループならある可能性はありますか?
例えば
有理数 1/7は0.142857 142857...と無限に循環しますが
無理数がたまたま数回だけループして0.142857 142857 3195634918...などとなる可能性もあります
だから
円周率でも何兆、何京桁と調べていけばこういうループは見つかる可能性がありますか?」

に対して、「不明としか言いようがない」との回答をいただきました。

しかし、円周率は定数なので、確定しないとは考えられないと思いました。

現在では証明できないという意味で不明とおっしゃった場合、そうなる確率だけ求めることは可能ですか?

質問は説明不足でしたが、数列のどこかに繰り返しではなく、初めの連続した2ブロック以上が同じ列であるということです
(0.123123...は良いが0.0123123...はなし)

また、円周率が完全にランダムであることはまだ証明されていませんが、ランダムであると仮定して話を進めてください

ループを確かめる手順は
まず円周率の初めは3.1です。
もし次が1で3.11ならば、1桁のループが成立するが、実際には3.14なので次を見る。3.1414だったら2桁のループが成立するが、実際には3.1415だから成り立たない。
1桁目と4桁目が違うので3桁のループはない。次を見て3.14151415の場合、4桁のループだがそれも違う。これをループができるまで無限に見ていく
チャンスを逃す度、次にループができる確率は天文学的に下がっていきますが、それでも決して0にはなりません。ならばいつかループが起こるか、ということです

以前の質問

「円周率は無理数なので無限に循環することはないですが、有限回で終わるループならある可能性はありますか?
例えば
有理数 1/7は0.142857 142857...と無限に循環しますが
無理数がたまたま数回だけループして0.142857 142857 3195634918...などとなる可能性もあります
だから
円周率でも何兆、何京桁と調べていけばこういうループは見つかる可能性がありますか?」

に対して、「不明としか言いようがない」との回答をいただきました。

しかし、円周率は定数なので、確定しないとは考えられないと...続きを読む

Aベストアンサー

>円周率は定数なので、確定しないとは考えられない
おっしゃるとおりです. なので, 確率は0か1のどちらかです. どちらなのかは, 恐らくまだ誰にも証明されていないでしょう.
その上で, 質問者の方が気にしていることは, 恐らく次の問題ではないかと推察します:
「r を 0≦r<1 の範囲の一様乱数とする. r において "ループが見つかる" 可能性はいくらか.」
(注: 小数を十進展開する際, 「0.6768000...=0.6767999...」のように 2 通りに表せるケースがあります. このような場合, 前者の表し方だとループがなく, 後者の表し方だとループがあることになります. しかし, r がこのように 2 通りに表せる確率は 0 なので, このようなケースについて気にする必要はありません.)

この問題について考えてみたのですが, 結論からいうとよくわかりませんでした.

r は一様乱数なので, 任意の正整数 n に対し, 小数第 n 位が 0, 1, ..., 9 である確率は 1/10 です.
【1 桁のループが成立する確率】
小数第 1 位 = 小数第 2 位 となればよいので, 1/10 × 1/10 × 10 = 1/10
【2 桁のループが成立する確率】
小数第 1 位 = 小数第 3 位, 小数第 2 位 = 小数第 4 位 となればよいので, 1/100

と考えていくと, n 桁のループが成立する確率は 1/10^n です.
これを n=1,2,3,..., と単純に無限に足し合わせていくと 1/9 になります. しかし, 例えば「2桁のループと5桁のループが両方成立している」といった可能性もあるので, "ループが見つかる" 確率は 1/9 よりは小さいことになります. が, 厳密な値を求めるのはちょっと面倒そうな気がしました. (勘違いかもしれません.)

>円周率は定数なので、確定しないとは考えられない
おっしゃるとおりです. なので, 確率は0か1のどちらかです. どちらなのかは, 恐らくまだ誰にも証明されていないでしょう.
その上で, 質問者の方が気にしていることは, 恐らく次の問題ではないかと推察します:
「r を 0≦r<1 の範囲の一様乱数とする. r において "ループが見つかる" 可能性はいくらか.」
(注: 小数を十進展開する際, 「0.6768000...=0.6767999...」のように 2 通りに表せるケースがあります. このような場合, 前者の表し方だとループがなく, 後者...続きを読む

Q「三平方の定理」の証明

「三平方の定理」の証明を中学2年生にもわかるように教えていただけないでしょうか?

★よろしくお願い致します★

Aベストアンサー

いろいろな証明方法があります。

下記のサイトの物が、解り易いと思います。
正方形の面積から導き出します。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3pita02.htm

Q0^0 での積の定義

0^0 (0の0乗)については、「0個の0の積」という言い表し方は妥当だと考えます。
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https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9212855.html
という過去の質問においては、
「0個の○○」と「0個の××」に違いは無いという結論に落ち着いたため、
「0個の0の積」と「0個の2の積」より、すなわち
 0^0=2^0=1
という結果が導けてしまうので、これを否定するような別な定義があれば色々提示してください。

Aベストアンサー

私の中で、あなたの質問の意図が鮮明になってきました。

あなたの問いは(当たり前かもしれませんが)まさにこのQAのQに書かれていることそのものですね。外の人からみれば、なんと私は頭が悪いのだ、と言われそう。私以外の回答者は、みな理解できていたのかもしれません。ただ、質問者には苦労をかけましたが、私にとっては、質問者の解釈を鮮明にする上で、これまでの考察は無駄ではなかったと考えます。特に、「0個の0の積」を質問者がどう解釈しているかがわかってきた。

さて、私は、あなたが0^0=1を導いた過程は正しいと考えます。少なくとも「0個の0の積」と「0個の2の積」が等しいことも苦労なく認めることができる。

>「0個の○○」と「0個の××」に違いは無いのだから、
どんな決まりに置き換えても 0^0=1 という結論が出る。
……それは正しいか?

あなたの問いは奥が深い。
公理 「0個の○○」は全て等しい を認めるとする。
このとき、任意の「決まり」から0^0=1が導かれるか

反対に、ある「決まり」が存在して0^0=1が否定されるか

ですね。任意の「決まり」を考えることが非常に難しい。
先の回答者が、このQAは公理系だと仰っていたことがなんとなくわかったような気がします。

私の中で、あなたの質問の意図が鮮明になってきました。

あなたの問いは(当たり前かもしれませんが)まさにこのQAのQに書かれていることそのものですね。外の人からみれば、なんと私は頭が悪いのだ、と言われそう。私以外の回答者は、みな理解できていたのかもしれません。ただ、質問者には苦労をかけましたが、私にとっては、質問者の解釈を鮮明にする上で、これまでの考察は無駄ではなかったと考えます。特に、「0個の0の積」を質問者がどう解釈しているかがわかってきた。

さて、私は、あなたが0^0=1を導い...続きを読む

Q高校の数学の複素数平面って存在価値あるのですか? 別に習わなくても良くね?

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