区分求積法についての質問です。 Σ[k=1~∞](1/(k^2+1))の値を区分求積法を用いて、 Σ

区分求積法についての質問です。
Σ[k=1~∞](1/(k^2+1))の値を区分求積法を用いて、
Σ[k=1~∞](1/(k^2+1))
=lim[n→∞]((1/n)Σ[k=1~n](n/((n^2)(k/n)^2+1)))
=lim[n→∞](∫[0~1](n/((nx)^2+1))dx)
=lim[n→∞](atan(n)-atan(0))
=π/2
と計算したのですが、wolfram alphaで計算させると1.076…(≠π/2)となってしまいます。区分求積法について調べてみると、どの例題においても、数列の和を定積分に還元するときに被積分関数にnが残らない形になっているので、もしかしたらそこで間違えてしまったのかな、と思ったのですが、どうでしょうか？区分求積法を用いた数列の和の計算では一般に、数列の和→定積分とするときに定積分にnが残ってしまってはいけないのでしょうか？もしそうならそれがいけない理由についても教えて頂きたいです。長く、煩わしい質問で申し訳ありません。お願いします。m(__)m

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2017/09/29 23:16

実際

Σ(n=1~∞)1/(n²+1)
はπ/2にはならない・・!

直接の回答という訳ではないが・・、
Σ(n=-∞~∞)1/(n²+x²) = (π/x)・cothπx
を既知として認めるならば・・、
Σ(n=1~∞)1/(n²+x²)
= 1/2・Σ(n=-∞~∞)1/(x²+n²)－1/2x²
= (π/2x)・cothπx－1/2x²

x=1とすれば
Σ(n=1~∞)1/(1+n²)
= (π/2)・cothπ－1/2
= 1.076674047…
である・・!