指数関数の問題で相加相乗平均 vs 解の存在条件

<子供の塾の問題>
変数tはすべての実数値をとり、x=2^t+2^(-t),y=4^t+4^(-t)-2a(2^t+2^(-t))(aは定数)であるとする。
このときy=0となるときのxの値を求めよ。

<子供の解答>
相加相乗平均の関係から、x≧2√2^t・2^(-t)=2。等号成立は2^t=2^(-t)∴t=0…(☆)
x^2=4^t+4^(-t)+2であるから
y=x^2-2-2ax
=(x-a)^2-(a^2+2)

y=0のときx=a±√(a^+2)

x=a-√(a^+2)はx≧2をみたさないため不適。

x=a+√(a^+2)≧2となるのは
√(a^+2)≧2-a…①の場合である。
(ⅰ)a≧2なら2-a≦0なので①を満たす
(ⅱ)a<2なら2-a>0で①の両辺を二乗しても大小関係は変わらない。よって、a^2+24-4a+a^2⇔1/2≦a<2

よって、y=0となるのは
a≧1/2のとき x=a+√(a^+2)
a<1/2のとき　解なし


<塾の採点>
上記の(☆)の部分が間違いである。
(☆)は「x≧2√2^t・2^(-t)=2」は「xの最小値が2である」ことを示しているにすぎず、「xが2以上の任意の値をとりうる」ことまでは保証していない。

したがって、(☆)の部分は
x=2^t+2^(-t)でT=2^tとおいて
x=T+1/T⇔T^2-xT+1=0
f(T)=T^2-xT+1とおいてxがとりうる範囲はf(T)=0が少なくとも一つt>0なる解を持つ条件であるから
(ⅰ)T>0に、二つの解(含む重解)を持つ場合⇔D=x^2-4≧0,軸=x/2>0,f(0)>0
(ⅱ)T≦0,T>0にそれぞれ一解を持つ場合⇔f(0)<0。不適
よりx≧2

以下は子供の解答と同じ。

<私の疑問点>
a)『「x≧2√2^t・2^(-t)=2」は「xの最小値が2である」ことを示しているにすぎず、「xが2以上の任意の値をとりうる」ことまでは保証していない。』ことは間違いないとは思う。
b)しかし、塾の解答で「以下は子供の解答と同じ。」の部分では「xが2以上の任意の値をとりうる」を十分に使っておらず、必要条件としてx≧2を用いているだけ(のように思われる）。
c)b)で『「xが2以上の任意の値をとりうる」を使っておらず...』の判断が正しいなら、相加相乗平均を使わず、わざわざ解の存在条件でx≧2を求める必要があるのか？

この方面に詳しい方がおられましたら、何卒よろしくお願い申し上げます。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2017/10/16 11:27

塾の指導に言うとおり、そしてa)にお書きの通り、xが2以上の任意の値を取りうる（すなわち x≧2 ならば x=2^t + 2^(-t) を満たす実数tが存在する）ということを言ってない、という点だけがまずい。

これが抜けていると、「どんなaでもa≧1/2でありさえすれば解xがある」とは言えない（a∈[1/2,∞)のうちに「不適」になるaが存在するかもしれない）からです。
　逆に、xが2以上の任意の値を取りうる、という事さえ言っておけば、「どんなaでも、a≧1/2ならば解xがある」は自明でしょう。

この回答へのお礼

丁寧にご教示いただきありがとうございます。

今回のように、x、すなわち解の存在を求められている場合には、相加相乗平均ではなく、「少なくとも一つt>0なる解を持つ条件」を記載するようにすべきですね。

今後ともよろしくお願い申し上げます。

お礼日時：2017/10/18 13:56

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2017/10/19 11:52

相加平均と相乗平均の不等式を使うこと自体には問題ないでしょう。

単に、「x≧2 ならば x=2^t + 2^(-t) を満たす実数tが存在する」ことさえ言えば良い。塾の模範解答は二次式が連続関数であることを自明として使っているわけで、これがアリならたとえば「右辺をf(t)とすると、fは連続関数であり、f(0)=2、t→∞ でf(t)は∞に発散」と書いておくだけでも足りましょう。

この回答へのお礼

ご追加ありがとうございます。

＞塾の模範解答は二次式が連続関数であることを自明として使っているわけで、これがアリならたとえば「右辺をf(t)とすると、fは連続関数であり、f(0)=2、t→∞ でf(t)は∞に発散」と書いておくだけでも足りましょう。

子供には、「単なる最小値を求めるだけではない場合には、解の存在条件を使うように」といっておきました。。

またよろしくお願いします。

お礼日時：2017/10/21 08:34