三角錐のたいせきをおしえてください

底面が一辺４センチメートルの正三角形
そこからの３辺が４センチメートル、5センチメートル、6センチメートル
の三角錐の体積の求め方を教えてください。

No.2 回答者： kawano_medaka 回答日時： 2017/10/20 22:14

多分、高さを求めるのに難儀されてるかと。

かなり考えた結果を＊＊参考までに展開図と側面図、底面計算補助図を添えました。手書きで見にくいかも、我慢、我慢。

三角錐を各頂点から底辺に鉛直に伸ばし、交差した点が頂点直下です。底面図のx,yを求める（x、yのみでも可）と,A,B面の高さHが求められる。記入漏れですがO点からA-B,
C-Dへの斜長を計算上のｈ1,h2とします。
A面の計算
ｈ1²＝5²-a²＝25-a²
h1²＝4²-(4-a)²＝16-16+8a-a²
上式により　25-a²＝8a-a²　　a=25/8
h1²=25-a²=25-(25/8)²=(25×64-25²)/8²
　　　　 　h1=√((1600+625)/8²)=3.903
B面の計算
ｈ2²＝5²-b²＝25-b²
h2²＝6²-(4-b)²＝36-16+8b-b²=20-8b-b²
上式により　25-b²=20+8b-b²
　　　　　　b=5/8
　　　　　 h2²=25-(5/8)²＝(25×64-25)／8²
　　　　　　h2＝√1575/8=4.961
上記計算により、底面図にて頂点水平距離を計算する。
A2-Bはa、B-B1はb、頂点位置はOです（記入漏れです）。今回は1辺が4cmの正三角形なので、関数を使えラッキーです。
xを求める。A2-B2=√3a B-B2=2a B1-B2=2a-b O-B2=(2/√3)(2a-b)
x=√3a-(2/√3)(2a-b)=(2b-a)/√3
＝(10/8-25/8)/√3=-15/8√3=-1.083(負号は底面の外になる）
yを求める。A1-B1=√3b A1-B=2b A1-A2=2b-a O-A1=(2/√3)(2b-a)
y=√3b-(2/√3)(2b-a)=(2a-b)/√3
＝(50/8-5/8)/√3=45/8√3=3.24

以上により頂点高さを求める。
A面　　面斜長h1=3.903 水平距離は-1.083
　　　 頂点高さH=√(3.903²-(-1.083²))＝3.751
B面　　面斜長h1=4.961 水平距離は3.24
　　　 頂点高さH=√(4.961²-3.24²)＝3.757
体積 底面積　S=4×2√3×1/2=6.93
V=1/3×S×H=1/3×6.93×3.75=3.25 cm³

計算精度の誤差かとおもいます。時間があったらC面の計算をして確認ください。
変なところがあったら再質問をお願いします。

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/19 04:57

簡単な解き方が思い浮かばないなら, 座標空間で考えたらどうですか.

私の計算では 5√3 ですが, あまり信用しないでください.