位置エネルギーと力学的エネルギー

下端に質量mの重りを付けた、ばね定数kの軽いばねを天井に固定する。最初ばねが自然の長さになるように手で重りを支え、少しずつ支える力を弱くし、重力と弾性力がつり合って重りが静止するよう
にする。そのときにばねは自然の長さよりhだけ伸びた。

……という状態のときに以下の等式は成り立ちますか？

重りの最初の位置エネルギーをU、手で支えずに重りが静止しているときの弾性エネルギーをu、重力加速度をgとする。

力学的エネルギー保存の法則により、
U=u
mgh=(1/2)kh^2

弾性力と重力がつり合っているため、
kh=mg

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます。
  
  しかし、２つの等式をそれぞればね定数kについての方程式と見て解いてみると、kの解が２通りになってしまいます。この矛盾はどこから来るのでしょうか？　どこが間違っているのか考えているのですが全然わかりません。
  
  よろしくお願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/11/11 22:48

• 回答ありがとうございます。
  
  フックの法則によりkhと出しました。
  
  よろしくお願いします。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/11/11 22:51

• 返信ありがとうございます。
  
  問題点は、２つの等式をばね定数kについての方程式として解くと、それぞれ違う解が出てきて、矛盾が生じてしまうことです。もしどこが間違っているのかお分かりでしたら、教えてください。よろしくお願いします。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/11/11 23:43

• 

  返信ありがとうございます。
  
  当方物理基礎しか習っていないため、そこで積分するというのが何を意味するのかわからないのですが、教えていただけませんでしょうか？
  
  よろしくお願いします。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/11/12 09:45

• 回答ありがとうございます。
  
  確かにその力の仕事を考えていませんでした。ご指摘していただき納得しました。
  
  では、最初の高さで手をいきなり離したら１つめの式は成り立ちますか？
  
  よろしくお願いします。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/11/12 11:14

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2017/11/11 22:42

高さ h の移動によっても、重力加速度が同じと近似するならば、成り立ちますね。

最後の kh = mg の左辺と右辺をそれぞれ、h = 0 から h = h まで積分してみて。

No.2 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/11/11 22:47

(1/2)kh=mgでは。

No.3 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/11/11 23:37

No.2です。

力のつり合いだと
kh=mg
ですね。

No.4 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/11/12 01:17

No.3です。

mgh=(1/2)kh^2の式が間違っています。
mghには、ばねに蓄えられるエネルギーと、手で重りを支えて移動した仕事Wが含まれす。
W=(1/2)mgh
従って
mgh=(1/2)kh^2+(1/2)mgh
kh=mg

No.5 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/11/12 02:05

No.4です。

W=(1/2)mghの説明。
手にかかる力は
mg-kx
W=∫{x=0→h}(mg-kx)
=[mgx-(1/2)kx^2]{x=0→h}
=mgh-(1/2)kh^2
ここでつり合っているので
kh=mg
k=mg/h
従って
W=mgh-(1/2)mgh=(1/2)mgh

または
W=kh^2-(1/2)kh^2=(1/2)kh^2
mgh=(1/2)kh^2+w=kh^2
従って
mg=kh

No.6 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/11/12 10:07

No.5です。

簡単に言うと、下図の高さmg、底辺hの三角形の面積を求めることです。
そうすると、直接
W=1/2×mgh
となります。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。

なるぼど、そういうことだったんですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2017/11/12 11:11

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/11/12 10:49

手で支える仕事があるためこの系の力学的エネルギーは保存しません。

つまり、根本のところで間違っているのです。

No.8 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/12 12:58

手で支えるということは、位置エネルギー以外のエネルギーのやり取りがあるので

力学的エネルギーは保存されません。
この問題は釣り合いで簡単に解けてしまいます。

バネが引く力と重力の釣り合いを考えればよいので

kh = Mg → k = Mg/h, h = Mg/k

>最初の高さで手をいきなり離したら１つめの式は成り立ちますか？

もちろん成り立ちません。力学的エネルギーの保存から

(1/2)kh^2　- mgh + (1/2)v^2 = 0 (v は速度 = dh/dt)