切断円錐の体積

きたない絵で恐縮なのですが
添付図のように底面直径R、高さHの円錐を
中心からr離れた位置で垂直に切断したときの体積は
どういう式になるでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： diff3356 回答日時： 2017/12/07 15:11

円錐面の方程式は、

x^2+y^2=R^2*(1 - z/H)^2, (0≦z≦H). すなわち、
z=H*{1 - (1/R)*√(x^2+y^2)}. ですから、小さい方の体積V0は、0<r<R として、
V0=∫[r~R]{∫[0~√(R^2-x^2)] z dy}dx.
であり、大きいほうの体積Ｖは、
V0+V=(1/3)pi*R^2*H. から求められます。
問題のV0は極座標へ変換して、
V0=∫[-arctan(K)~arctan(K){∫[(R-r*tanφ)~R]H*{1 - ρ/R)*ρdρ}dφ,
ただし、K=(1/r)*√(R^2-r^2).
となりますが、R, H, r が具体的な数値でなければ複雑になりすぎます。

この回答へのお礼

ぬぬぅ
なんとか解読してみます
ありがとうございました

お礼日時：2017/12/07 16:58