天井関数の方程式

例えば、
20＝ceil(x/23)＋ceil(x/12)+ceil(x/10)+ceil(x/5)+ceil(x/1.7)+ceil(x/18)
とかです。
この場合、15.3<x≦17になることは
xにいろいろな値を入れて確認しましたが
もっとスマートなxの求め方はあるでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2017/12/28 21:30

記述を簡単にするため

　　g(x) = ceil(x/23)＋ceil(x/12)+ceil(x/10)+ceil(x/5)+ceil(x/1.7)+ceil(x/18)
と書く事にしましょう。
　一般に
　　t+1＞ceil(t)≧t
ですんで、
　　f(x) = x(1/23+1/12+1/10+1/5+1/1.7+1/18)
　　= x(75349/70380)
とおくと
　　f(x)+6＞20≧f(x)
でなくちゃいけないから、
　　L<x≦H
　　L=(20-6)(70380/75349), H=20(70380/75349)　（数値にすると　L≒13.08, H≒18.68）
というところまでまず絞れます。
　　ceil(L/23)=ceil(H/23)=1
　　ceil(L/12)=ceil(H/12)=2
　　ceil(L/10)=ceil(H/10)=2
であり、従ってこれらはL<x≦Hの範囲では定数。つまり、
　　g(x) = 5+ceil(x/5)+ceil(x/1.7)+ceil(x/18)
です。また
　　ceil(L/5)=3, ceil(H/5)=4
　　ceil(L/1.7)=8, ceil(H/1.7)=11
　　ceil(L/18)=1, ceil(H/18)=2
ですが、
　　ceil(18/5)=4, ceil(18/1.7)=11, ceil(18/18)=1
より
　　g(18) = 21＞20
なので、L<x<18だと分かります。従って、L<x<18の範囲ではceil(x/18)は定数1であり、
　　g(x) = 6+ceil(x/5)+ceil(x/1.7)
です。同様に
　　ceil(15/5)=3, ceil(15/1.7)=8, ceil(15/1.7)=9
より
　　g(15) = 18＜20
なので、15<x<18 だと分かり、この範囲ではceil(x/5)は定数4であって、
　　g(x) = 10+ceil(x/1.7)
です。だから結局
　　10 = ceil(x/1.7)
を解けばよろしい、ということですね。