2変数の合成関数の二回微分 z=f(x(t),y(t))に関して次の関係があることを示せ。 d^2t

2変数の合成関数の二回微分

z=f(x(t),y(t))に関して次の関係があることを示せ。

d^2t/dt^2=∂^2z/∂x(dx/dt)^2
+2∂^2z/∂x∂y・dx/dt・dy/dt
+∂^2z/∂y^2(dy/dt)^2
+∂z/∂x・d^2x/dt^2+∂z/∂y・d^2y/dt^2
　　　
私はこの問題を以下のように解きました。
合成関数の微分公式より
dz/dt=∂z/∂x・dx/dt+∂z/∂y・∂y/∂t
さらに、「合成関数の微分公式より」(←ここが間違いのようです)
d^2z/dt^2=∂Zt/∂x・dx/dt+∂Zt/∂y・dy/dt

として計算していくと間違えてしまいました。
この２つ目の「合成関数の微分公式より」の部分を「積の微分公式より」として解くと正解にたどり着けます。
これはつまり、合成関数の導関数は合成関数ではなくなるということですよね？もし、合成関数の導関数が合成関数であれば、「合成関数の微分公式」が使えるはずです。
しかし、ここでなぜ、合成関数の導関数が合成関数ではなくなるのかがわかりません。


どなたか教えて下さい！

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2018/01/17 21:46

z=f(x(t),y(t))がz=f(x,y)とｘ＝x(t),ｙ＝y(t)の合成関数になっているように

dz/dt=∂z/∂x・dx/dt+∂z/∂y・ｄy/ｄt中の∂z/∂x、はx、yの関数としての∂z/∂xとｘ＝x(t),ｙ＝y(t)
の合成関数になっていることに気をつけなくてはいけません。
同じように∂z/∂yもx、yの関数としての∂z/∂yとｘ＝x(t),ｙ＝y(t)の合成関数と考えます。
つまりいずれもｔの関数ですから積の微分公式を使うわけです。