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No.2
- 回答日時:
x^2+y^2の最小値を求めるのだから
a^2 = x^2 + y^2 ①
と置いちゃいましょう。
すると、これは「原点を中心とした、半径 a の円」だということが分かりますよね?
一方、x と y との関係は
x + 2y = 1
ですから、これを書き直せば
y = -(1/2)x + 1/2 ②
で、これは「直線」ですよね?
つまり、与えられた問題は、②の直線に対して、①の半径 a が最も小さくなるように「原点を中心とした円」を書いたときの「a^2 はいくつか」ということです。
図を書けば一目瞭然ですよね。①の円が、②の直線に接するとき、半径が最小になりますね。
難しいことを考えずに、図を書いて考えましょう。
x=1/5, y=2/5 は、①と②の接点(そのとき円の半径が最小になる)の座標です。
三平方の定理から、
a^2 = (1/5)^2 + (2/5)^2 = 1/25 + 4/25 = 5/25 = 1/5
これが「原点と接点との距離の2乗 = 半径が最小となる円の半径の2乗」で、求める最小値です。
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