平方完成

x+2y=1のとき,x^2+y^2の最小値とそのときのxの値を求めよ。

という問題で、

y=(-1/2)x+1/2
をx^2+y^2に代入したとき
y=5/4[x-(1/5)^2]+1/5
でx=1/5最小値1/5

x=-2y+1
をx^2+y^2に代入すると
x=5[y-(2/5)]^2+1/5

となったのですが、このときの
2/5や1/5の意味がよくわからないので教えてください。

xについて平方完成したときとyについて
平方完成したときの違いを教えてください。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/02/18 00:21

x^2+y^2の最小値を求めるのだから

　a^2 = x^2 + y^2　　　①
と置いちゃいましょう。

すると、これは「原点を中心とした、半径 a の円」だということが分かりますよね？

一方、x と y との関係は
　x + 2y = 1
ですから、これを書き直せば
　y = -(1/2)x + 1/2　　②
で、これは「直線」ですよね？

つまり、与えられた問題は、②の直線に対して、①の半径 a が最も小さくなるように「原点を中心とした円」を書いたときの「a^2 はいくつか」ということです。
図を書けば一目瞭然ですよね。①の円が、②の直線に接するとき、半径が最小になりますね。

難しいことを考えずに、図を書いて考えましょう。

x=1/5, y=2/5 は、①と②の接点（そのとき円の半径が最小になる）の座標です。
三平方の定理から、
　a^2 = (1/5)^2 + (2/5)^2 = 1/25 + 4/25 = 5/25 = 1/5
これが「原点と接点との距離の2乗 = 半径が最小となる円の半径の2乗」で、求める最小値です。

No.1 回答者： 酢酸納豆 回答日時： 2018/02/17 18:33

頂点の座標です。

グラフを書けばすぐわかるでしょう。平方完成は普通xでしますがね。