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剛体振り子の周期

解決済

  • 質問者：appleby-
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

剛体振り子の運動方程式　Ｉ（θの2回微分）＝－Ｍｇｈθ
から、普通に
周期Ｔ＝２π√（Ｉ／Ｍｇｈ）
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Ｔはどうやって求めたのでしょう？計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします！
Ｔ＝２π／ωと、ω＝（θの微分）を用いるのはわかるんですけど・・・。

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A 回答 (3件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： sanori
  • 回答日時：

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。


すなわち
dθ^2/dt^2 ＝ －Ａθ
（Ａ＝Ｍｇｈ／Ｉ）
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはｔの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ ＝ a・sin(ωt+c)
ｔで一回微分すると
dθ/dt ＝ ab・cos(ωt+c)
もう１回ｔで微分すると
Ｉ ＝ dθ^2/dt^2 ＝ －a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
－a・ω^2・sin(ωt+c) ＝ －Ａ・a・sin(ωt+c)
よって
ω＝√Ａ＝√（Ｍｇｈ／Ｉ）
Ｔ＝２π／ω＝２π√（Ｉ／Ｍｇｈ）
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この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます！！
わかりました、単振動の式とみなして解くんですね！
大学生になって完全に忘れていました・・・
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました☆

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お礼日時：2004/10/06 19:42

No.3

  • 回答者： sanori
  • 回答日時：

＃１です。


誤字訂正します。

【誤】
ｔで一回微分すると
dθ/dt ＝ ab・cos(ωt+c)

【正】
ｔで一回微分すると
dθ/dt ＝ aω・cos(ωt+c)
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No.2

  • 回答者： cozycube1
  • 回答日時：

　まず、単振り子を復習して、その周期と長さの関係を思い出してください。


　次に、剛体振り子を復習し、「相等単振り子の長さ」（剛体振り子が、どのような長さの単振り子に相当するかというもの）の導き方を思い出してください。
　それができたら、単振り子の周期についての長さの項に、「相等単振り子の長さ」を代入してみてください。
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Aベストアンサー

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)＋Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
I=I(G)＋mh^2=2/5ma^2＋m(a＋l)^2になるのです。

平衡軸の定理については、定理ということでそのまま
用いて構いません。式の導出が厄介だからこそ、定理として造られているのです。定理の導出まで知りたければ、力学の教科書をみれば分かります。

球の慣性モーメントについても、導出はけっこうやっかいです。球の重心の周りの慣性モーメント
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かなりゴチャゴチャします。

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)＋Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
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１）回転運動の方程式は
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２）慣性モーメントについては
回転軸のまわりの慣性モーメント
＝重心のまわりの慣性モーメント＋質量×（回転軸から重心までの距離の２乗）。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

３）角加速度は回転角の時間に関する２階導関数 (d/dt)^2θ です。

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１）回転運動の方程式は
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回転軸のまわりの慣性モーメント
＝重心のまわりの慣性モーメント＋質量×（回転軸から重心までの距離の２乗）。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

３）角加速度は回転角の時間に関する２階導関数 (d/dt)^2θ です。

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Aベストアンサー

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

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平面上の振り子運動だと思うので、
角度をθ、重心までの距離をr1,r2などと置いて、それぞれの重心のx座標、y座標をr、θで表します。
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これを用いて、振り子の運動エネルギーを出して、この運動エネルギーを
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（振り子の回転中心は動かないので上記の形にかけます）
（鉄の棒と立方体は重心中心の慣性モーメントなので、重心が動くので(*)の形でかけます）

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性...続きを読む

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Q大学物理の問題

以下の問題がわかりません・・・。解説をお願いしたいです。

半径a, 質量M の一様な円板の中心からb だけ離れた点を支点として円板を円直面内で微小振動させ
た。この振動の周期T を求めよ。このT を最小にするb 及びその時の周期Tmin を求めよ。


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

円盤の慣性モーメント I = (1/2)Ma^2 + Mb^2
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以上から運動方程式は

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Q剛体振り子の運動方程式を高校生の範囲で求める

添付写真にあります問題で問３（２）なのですが誘導にしたがったエネルギー保存則との対応で解くことはできたのですが　これを　単振り子でやるように　運動方程式をたて角振動数を求めてから周期を求める、と言ったことは高校生の範囲で可能なのでしょうか？また京大入試でよく出る換算質量を用いて解くことはできますか？
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Aベストアンサー

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２階の定数係数微分万程式は高校の範囲内
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Q剛体の振り子　先端に質点があることが悩ませます

こんにちは、
かなりこんがらがっており、解答がないため、確認もできずもがいております。
図の通りなのですが、ロッドの片側が振り子の支点でして、もう片側に質点がついております。
これを水平状態から、放して、最下点で質量Mのブロックにぶつけるという過程を想定しています。

問題は
１)このロッド＋質点の慣性モーメントを求めよ
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1)について初っ端からつまづきました。やってみました。
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そして、これ以降が進みません。すみません。
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2) 衝突直前の最下点での角速度を求めよ
3) 衝突後のブロックの速さが2m/sだった場合、ブロックにかかった力積 linear impulseはいくらか
4) また、振り子にかかった角力積 a...続きを読む

Aベストアンサー

1)
OKです。

2)
>初期位置でのエネルギー総和が最下点での運動エネルギーに等しいということで
>(MgL)/2 + mgL　= (1/2)(1/3)(ML^2)(V/L)^2 + (1/2)mV^2

結果的に右辺を２項に分けたのでは，全慣性モーメントを求めたかいがありません。
1/2・Iω^2 のままでよいのです。直接ωについて解きましょう。

3) 4)
ＯＫです。

5)
>衝突前の角運動量 - (4)の角力積 = 衝突後の角運動量　であり,

向き付きで記述すれば，
衝突後の角運動量 - 衝突前の角運動量 = 角力積

意識されているとは思いますが，方向に注意してください。

6)
>衝突後の運動エネルギーの総和
>(1/2)N x (2 m/sec)^2 + (1/2)I (ω'）^2 + (1/2)m(ω'L)^2

衝突後の運動エネルギーは，1/2・Iω'^2 でよいのです（ I は全体の慣性モーメント）。

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Q実体振り子（物理振り子）って何？

実体振り子とは何ですか？
単振り子とは何が違うのでしょうか？

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単振り子は、周期的振動を示す別の力学系である。上端を固定した長さLの軽い紐の他端の吊るした質点ｍからなるもののこと。
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　この二つの違いと言うと、求める公式と振り子の物体が球かそれ以外といううことです。

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Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします！

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慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0～Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q振り子の問題

物理振り子の周期で、Ｔ＝２π√(I/Mgh)という公式があるのですが、ルートの中身をｈで微分すると、なぜ周期の最小が求まるのでしょうか？何方か教えてください。お願いします。

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Ｔがｈの関数であるとき、Ｔの最小値を求める場合、Ｔをｈで微分し、T'=0から最小値を与えるhの候補を見つけますよね？
Ｔのルートの中身の関数をf(h)とすれば、T'=２π[1/(2√f]*f'
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この場合のfは（h>0で）下に凸の形の関数で、最小である極値を一つだけ持つので、最小値を与えるｈが求まることになります。

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Q剛体振り子の問題について

質量M、半径aの一様な球体を質量の無視できる長さlの細い直線棒の先に固定して、振り子をつくる。この振り子を完全に静止させ、質量mの小さな銃弾を撃ち込んだ。銃弾は球体の中心に向かって水平に速度ｖで撃ち込まれ、球体中央部に埋まったままの状態で振り子が微小振動を開始した。この微小振動の最大振れ角を計算せよ。ただし、銃弾との衝突による球体の変形や重心位置の変化、銃弾の大きさはいずれも無視できるとする。尚、銃弾が撃ち込まれる前の振り子の慣性モーメントをIo、水平軸から球体の中心までの距離をd(=l+a)と表記してよい。

という問題で私はまず、運動量の保存則から
mv=(m+M)V
V=mv/(m+M)
dω=V
ω=V/d・・・(1)

エネルギー保存則から
(Ioω^2)/2=(M+m)gd(1-cosθ)

という式をたて最大振れ角θを求めようと思ったのですが、エネルギー保存則の左辺の項が銃弾が撃ち込まれる前の慣性モーメントしか使われていないという間違いに気づきどのように直せばよいのかが分かりません。

どなたかヒントでもよろしいので回答よろしくお願いします。

質量M、半径aの一様な球体を質量の無視できる長さlの細い直線棒の先に固定して、振り子をつくる。この振り子を完全に静止させ、質量mの小さな銃弾を撃ち込んだ。銃弾は球体の中心に向かって水平に速度ｖで撃ち込まれ、球体中央部に埋まったままの状態で振り子が微小振動を開始した。この微小振動の最大振れ角を計算せよ。ただし、銃弾との衝突による球体の変形や重心位置の変化、銃弾の大きさはいずれも無視できるとする。尚、銃弾が撃ち込まれる前の振り子の慣性モーメントをIo、水平軸から球体の中心までの距離...続きを読む

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慣性モーメントは

I = Σ mi ri^2

という足し算なので、

I = Σ(球) mi ri^2　＋　Σ(銃弾) mi ri^2

と二つに分ければいいだけです。しかし、銃弾は小さいということなので質点とみなせるとすれば第二項の和を取る必要はなくなります。また、第一項はIoです。

あと、質点同士の衝突ではないので、一般には運動量保存則だけではなく角運動量保存則も使います。ただ、この場合は剛体振り子で回転運動のみなので運動量保存則は使いません。
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