親子におすすめの新型プラネタリウムとは?

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

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A 回答 (3件)

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。


すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)
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この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます!!
わかりました、単振動の式とみなして解くんですね!
大学生になって完全に忘れていました・・・
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました☆

お礼日時:2004/10/06 19:42

#1です。


誤字訂正します。

【誤】
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)

【正】
tで一回微分すると
dθ/dt = aω・cos(ωt+c)
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 まず、単振り子を復習して、その周期と長さの関係を思い出してください。


 次に、剛体振り子を復習し、「相等単振り子の長さ」(剛体振り子が、どのような長さの単振り子に相当するかというもの)の導き方を思い出してください。
 それができたら、単振り子の周期についての長さの項に、「相等単振り子の長さ」を代入してみてください。
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Qボルダの振り子 慣性モーメント

ボルダの振り子で、金属球の質量をm、半径をa、
ナイフエッジから金属球までの長さをlとするとき、
支点回りの慣性モーメントIが
I=2ma^2/5+m(l+a)^2
となるのがわかりません。
この式の導き方を教えていただきたいです。

Aベストアンサー

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)+Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
I=I(G)+mh^2=2/5ma^2+m(a+l)^2になるのです。

平衡軸の定理については、定理ということでそのまま
用いて構いません。式の導出が厄介だからこそ、定理として造られているのです。定理の導出まで知りたければ、力学の教科書をみれば分かります。

球の慣性モーメントについても、導出はけっこうやっかいです。球の重心の周りの慣性モーメント
がI(G)=2/5ma^2です。この導出も知りたければ、力学の教科書を見た方が速いです。もしここに書き込むと
かなりゴチャゴチャします。

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)+Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
I=I(G)+mh^2=2/5ma^2+m...続きを読む

Q剛体振り子の問題

剛体振り子の問題

下図に示す、1辺の長さa、質量Mの一様正方形板の1頂点を回転軸受で支持した剛体振子の固有角振動数は?
ただし、正方形板の振れ角θは小さく、sinθ≒θとみなすことができ、gを重力加速度の大きさとする。

答え:1/2√((3√2g)/a)

どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

1)回転運動の方程式は
慣性モーメント×角加速度=力のモーメント。

2)慣性モーメントについては
回転軸のまわりの慣性モーメント
=重心のまわりの慣性モーメント+質量×(回転軸から重心までの距離の2乗)。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

3)角加速度は回転角の時間に関する2階導関数 (d/dt)^2θ です。

4)力のモーメント=力の大きさ×回転軸と力の作用線の距離。
ただし、力と回転角の方向によってプラス/マイナスを考慮する必要があります。

5)以上より式を立て、sinθ≒θ という近似を使うと
(d/dt)^2θ = -{3(√2)/4}(g/a)θ
という式が得られます。右辺にはマイナス符号が必要です。微分方程式を解く必要がないのであれば、ここの {3(√2)/4}(g/a) が求める角振動数の2乗であるとして、答えを求めます。

6)微分方程式を解くのであれば、上の式よりθの一般解を求めます。解は三角関数で表わされます。そこから角振動数を求めます。(上の式の右辺にマイナス符号がないと、解は指数関数になってしまい、振動を表すものにはなりません。)

なお、角振動数の「角」と回転角の「角」は意味が違うので混同しないように注意しましょう。

1)回転運動の方程式は
慣性モーメント×角加速度=力のモーメント。

2)慣性モーメントについては
回転軸のまわりの慣性モーメント
=重心のまわりの慣性モーメント+質量×(回転軸から重心までの距離の2乗)。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

3)角加速度は回転角の時間に関する2階導関数 (d/dt)^2θ です。

4)力のモーメント=力の大きさ×回転軸と力の作用線の距離。
ただし、力と回転角の方向によってプラス/マイナスを考慮する必要があ...続きを読む

Q振り子の慣性モーメントの求め方

鉄の棒の先に立方体の重りを付けた、振り子の慣性モーメントを求めたいのですが、振り子全体の慣性モーメントの求め方と、鉄の棒と重りのそれぞれの慣性モーメントの求め方を教えてください。よろしくお願いします。

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できれば詳しく教えていただけたら幸いです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性モーメントだと思うので、積分によって求めた、鉄の棒と立方体の重心周りの慣性モーメントを用いて、運動エネルギーを出します。

平面上の振り子運動だと思うので、
角度をθ、重心までの距離をr1,r2などと置いて、それぞれの重心のx座標、y座標をr、θで表します。
速度v1,v2を微分によって求めます。

ここで、運動エネルギーは、並進の運動エネルギーと回転の運動エネルギーの和なので、
E = 1/2 mv^2 + 1/2 Iω^2 (*)
の形であらわされます。

これを用いて、振り子の運動エネルギーを出して、この運動エネルギーを
E=1/2 Iω^2の回転のみのエネルギーとした時の、Iにあたる量が振り子の慣性モーメントです。
(振り子の回転中心は動かないので上記の形にかけます)
(鉄の棒と立方体は重心中心の慣性モーメントなので、重心が動くので(*)の形でかけます)

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性...続きを読む

Q大学物理の問題

以下の問題がわかりません・・・。解説をお願いしたいです。

半径a, 質量M の一様な円板の中心からb だけ離れた点を支点として円板を円直面内で微小振動させ
た。この振動の周期T を求めよ。このT を最小にするb 及びその時の周期Tmin を求めよ。


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

円盤の慣性モーメント I = (1/2)Ma^2 + Mb^2
円盤に加わる力(重力)のモーメント N = bMgsinθ ≒ = bMgθ(微小振動なので)

以上から運動方程式は

Id^2θ/dt^2=-bMgθ

これは単振動の方程式なので、振動の角周波数= √(bMg/I)

周期(T) = 2π/角周波数 = 2π√(I/(bMg)) =2π√(1/(2gM))√(a^2/b+2b)

Tを最小にするbは上の a^2/b+2b を最小にするので

a^2/b+2b を b で微分すると -(a^2/b^2) + 2 = 0 ⇒ b = a /√(2)

Q剛体振り子の運動方程式を高校生の範囲で求める

添付写真にあります問題で問3(2)なのですが誘導にしたがったエネルギー保存則との対応で解くことはできたのですが これを 単振り子でやるように 運動方程式をたて角振動数を求めてから周期を求める、と言ったことは高校生の範囲で可能なのでしょうか?また京大入試でよく出る換算質量を用いて解くことはできますか?
解答は 2パイ√(5L/3g)です。

Aベストアンサー

>f=ma の運動方程式からa=-ω^2×変位 の形から
>角振動数ωを持って行くのはこの問題ではできないのでしょうか?

2階の定数係数微分万程式は高校の範囲内
らしいので、
AN01のバネの運動方程式から求まると思います。

これかな?
https://physnotes.jp/math/diff-eq-phys/

eの複素数べきを回避して、なんとか高校の
範囲内に納めようと頑張ってますね(^^;

Q剛体の振り子 先端に質点があることが悩ませます

こんにちは、
かなりこんがらがっており、解答がないため、確認もできずもがいております。
図の通りなのですが、ロッドの片側が振り子の支点でして、もう片側に質点がついております。
これを水平状態から、放して、最下点で質量Mのブロックにぶつけるという過程を想定しています。

問題は
1)このロッド+質点の慣性モーメントを求めよ
2) 衝突直前の最下点での角速度を求めよ
3) 衝突後のブロックの速さが2m/sだった場合、ブロックにかかった力積 linear impulseはいくらか
4) また、振り子にかかった角力積 angular impulse はいくらか
5) したがって、衝突直後の振り子の角速度はいくらかになるか
6) 衝突の間に、どれだけの力学的エネルギーが失われたか
であります。

1)について初っ端からつまづきました。やってみました。
ロッドの慣性モーメント(ML^2) / 3ですので、それに質点の慣性モーメントがmL^2だと思うので、
トータルで、慣性モーメントIは、 I = (ML^2) / 3 + mL^2
と考えております。

2) これが、ほぼ分かりません。(1)で求めた慣性モーメントを使うと思われますが、むむむ、
糸口が見つかりません。エネルギー保存則を使うのか、それにしても初期状態(振り子が水平位置)での位置エネルギーはどう表されるのかが、わかりません。端緒に質点がなければ、ロッドの重心からロッドの位置エネルギーをもとめることができますが、端緒に質点があることでどこに重心があるのか、よくわかりません。どうか宜しくお願いします。

そして、これ以降が進みません。すみません。
何とか解法をお教え頂けないでしょうか。 とても困っておりまして、どうかお願いします。

こんにちは、
かなりこんがらがっており、解答がないため、確認もできずもがいております。
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これを水平状態から、放して、最下点で質量Mのブロックにぶつけるという過程を想定しています。

問題は
1)このロッド+質点の慣性モーメントを求めよ
2) 衝突直前の最下点での角速度を求めよ
3) 衝突後のブロックの速さが2m/sだった場合、ブロックにかかった力積 linear impulseはいくらか
4) また、振り子にかかった角力積 a...続きを読む

Aベストアンサー

1)
OKです。

2)
>初期位置でのエネルギー総和が最下点での運動エネルギーに等しいということで
>(MgL)/2 + mgL = (1/2)(1/3)(ML^2)(V/L)^2 + (1/2)mV^2

結果的に右辺を2項に分けたのでは,全慣性モーメントを求めたかいがありません。
1/2・Iω^2 のままでよいのです。直接ωについて解きましょう。

3) 4)
OKです。

5)
>衝突前の角運動量 - (4)の角力積 = 衝突後の角運動量 であり,

向き付きで記述すれば,
衝突後の角運動量 - 衝突前の角運動量 = 角力積

意識されているとは思いますが,方向に注意してください。

6)
>衝突後の運動エネルギーの総和
>(1/2)N x (2 m/sec)^2 + (1/2)I (ω')^2 + (1/2)m(ω'L)^2

衝突後の運動エネルギーは,1/2・Iω'^2 でよいのです( I は全体の慣性モーメント)。

Q実体振り子(物理振り子)って何?

実体振り子とは何ですか?
単振り子とは何が違うのでしょうか?

Aベストアンサー

単振り子は、周期的振動を示す別の力学系である。上端を固定した長さLの軽い紐の他端の吊るした質点mからなるもののこと。
実体振り子、うち等では物理振り子と言っています。物理振り子とは、任意の剛体をその質量中心を通らない固定軸線から吊るしたもののことを言う。
 この二つの違いと言うと、求める公式と振り子の物体が球かそれ以外といううことです。

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q振り子の問題

物理振り子の周期で、T=2π√(I/Mgh)という公式があるのですが、ルートの中身をhで微分すると、なぜ周期の最小が求まるのでしょうか?何方か教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

Tがhの関数であるとき、Tの最小値を求める場合、Tをhで微分し、T'=0から最小値を与えるhの候補を見つけますよね?
Tのルートの中身の関数をf(h)とすれば、T'=2π[1/(2√f]*f'
T'=0 とすれば f'=0 になります。
この場合のfは(h>0で)下に凸の形の関数で、最小である極値を一つだけ持つので、最小値を与えるhが求まることになります。

Q剛体振り子の問題について

質量M、半径aの一様な球体を質量の無視できる長さlの細い直線棒の先に固定して、振り子をつくる。この振り子を完全に静止させ、質量mの小さな銃弾を撃ち込んだ。銃弾は球体の中心に向かって水平に速度vで撃ち込まれ、球体中央部に埋まったままの状態で振り子が微小振動を開始した。この微小振動の最大振れ角を計算せよ。ただし、銃弾との衝突による球体の変形や重心位置の変化、銃弾の大きさはいずれも無視できるとする。尚、銃弾が撃ち込まれる前の振り子の慣性モーメントをIo、水平軸から球体の中心までの距離をd(=l+a)と表記してよい。

という問題で私はまず、運動量の保存則から
mv=(m+M)V
V=mv/(m+M)
dω=V
ω=V/d・・・(1)

エネルギー保存則から
(Ioω^2)/2=(M+m)gd(1-cosθ)

という式をたて最大振れ角θを求めようと思ったのですが、エネルギー保存則の左辺の項が銃弾が撃ち込まれる前の慣性モーメントしか使われていないという間違いに気づきどのように直せばよいのかが分かりません。

どなたかヒントでもよろしいので回答よろしくお願いします。

質量M、半径aの一様な球体を質量の無視できる長さlの細い直線棒の先に固定して、振り子をつくる。この振り子を完全に静止させ、質量mの小さな銃弾を撃ち込んだ。銃弾は球体の中心に向かって水平に速度vで撃ち込まれ、球体中央部に埋まったままの状態で振り子が微小振動を開始した。この微小振動の最大振れ角を計算せよ。ただし、銃弾との衝突による球体の変形や重心位置の変化、銃弾の大きさはいずれも無視できるとする。尚、銃弾が撃ち込まれる前の振り子の慣性モーメントをIo、水平軸から球体の中心までの距離...続きを読む

Aベストアンサー

慣性モーメントは

I = Σ mi ri^2

という足し算なので、

I = Σ(球) mi ri^2 + Σ(銃弾) mi ri^2

と二つに分ければいいだけです。しかし、銃弾は小さいということなので質点とみなせるとすれば第二項の和を取る必要はなくなります。また、第一項はIoです。

あと、質点同士の衝突ではないので、一般には運動量保存則だけではなく角運動量保存則も使います。ただ、この場合は剛体振り子で回転運動のみなので運動量保存則は使いません。
角運動量の保存則を使ってください。剛体の角運動量はIωです。


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