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エクセル統計で二標本の母平均の差の検定を行うと、観測値とランク化した値のそれぞれについて、t検定とWelch法による結果が出てきます。
このランク化した値を用いた方法については、具体的にどんな方法を使っているのわからなかったので、サポートに問い合わせたところ下記の回答を得ました。

1. 単純に観測値を順位化した数値を用いて、定義通りの式でt検定やWelchの方法を計算している。
2. 中心極限定理により、観測値の度数に関係なく順位データから計算したt統計量の分布は漸近的に正規分布に近づく。

2についてがよくわからなく、サポートからもはっきりした回答しか得られなかったので質問させていただきます。
観測値の有効数字が大きい場合、順位データはほとんどが度数1になり、正規分布からは程遠い分布になると思います。
このようなケースではt検定やWelch法を用いるのは不適切だと思うのですが、どうでしょうか。
また、正規性を仮定できないケースでは平均値を比較するより、中央値を比較することが多いような気がするのですが、このランク化されたt検定やWelch法というのは、どのようなときに用いることができる統計方法なのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

A 回答 (1件)

釣鐘状の分布が描けなければ正規分布でない、


と思っている気配を感じます。
テキトー想像で失礼すが、質問者様は、
サイコロの目のような確率変数が限られた整数しかとらない確率と、
連続量を扱う、たとえば確率変数が0から5の実数をとるような確率が、
ごちゃまぜになっているのではないでしょうか。
もしくはとらえるべき分布が混乱しているかのどちらか。

「データ数が限られていて度数を考えると度数は0か1になる」
を気にし続けると連続量は扱えません。

数直線上の0を狙ってダーツ(のようなもの)を投げて、
正規分布に従ってばらけたところにあたる、
という試行を考えてみてください。
確率変数は、その当たったところの値とします。
数学的無茶な精度で観測できるとしましょう。
冷静に言って、同じ値になることはほぼ絶対にありません。
連続値の世界なので、度数ということ自体変な話ですが、
結果分布はほとんどのところで0、限られた値で回数分の1ですね。
デルタ関数で無理やり結果だけからの確率関数を定義できなくもないかな?
ただ考えるべきは確率密度関数で、
定義に従って、それは正規分布です。
ですが、2回しか投げなければ、
0付近の2つの実数が得られるだけです。でも正規分布なんです。
2つから正規分布を類推しろ、と言っているのではなくて、
正規分布から抽出された2サンプル(2標本)と考えろ、という意味です。

どんな分布(分布A 教科書的には母集団)だろうと、
その分布から2つ以上のデータが得られて(分布B 教科書的には標本の分布)、
その平均値を考えると、平均値が従う分布(分布C)は(ほぼ)正規分布です。
それが中心極限定理そのものです。
ここで分布Aと分布Bと分布Cいう3つの分布が出てきてかなり混乱しやすいので
落ち着いて整理してください。
「観測値の有効数字が大きい場合、順位データはほとんどが度数1になり、正規分布からは程遠い分布」
とおっしゃっているのは分布Bです。
サポートが
「2. 中心極限定理により、...t統計量の分布は漸近的に正規分布に近づく。」
とおっしゃっているのは分布Cです。

分布Bから分布Cをひねりだして分布Aについて議論するのが
統計での検定の世界です
中心極限定理のよくある議論とは議論の順番が一致しないので、
落ち着いて対応させないと、中心極限定理ですよと言われても
なんのことだかわかりにくいものです。

今考えているのは2つの集団の母平均ですよね。
平均ですから正規分布(的なもの)に従います。
同じ母集団かもしれないことを議論しているので、
平均同士を引き算しても正規分布(的なもの)と考えてみます。
ただ、データ数が少なければ、同じ信頼度を語るのに分散は
大き目である必要があるのは直感的にわかりますよね。
ピッタリ正規分布なのではなく、ちょっと補正が必要。
それがt分布議論で、そのことを加味するのが
Welchの自由度部分です。

(ある有効桁数の)実数で得られる観測値を、わざわざランクにわけてから
議論すると、データがその分、観測値の有効桁数を落としたような状態に
なりますので、単にもったいないですが、
計算すればなにがしかの結果が得られます。

アンケートで(賛成、どちらかといえば賛成、どちらかといえば反対、反対)を
3,2,1,0とスコア付けするような意味のことをランクと呼んでらっしゃるのなら、
ちょっと別手法になります。
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この回答へのお礼

大変詳しいご回答ありがとうございます。
おっしゃる通り、釣鐘型の分布が正規分布であるとイメージしていました。
連続値であるならばランク化をしなくても厳密にはすべて度数が1か0になるのは言われてみれば全くその通りで、ランク化は「有効桁数を落としたような状態」というのにも納得です。
まだ理解しきれていないところもあるのですが、「分布Bから分布Cをひねり出して分布Aについて議論する」との説明で、前より検定に対してのイメージがクリアになったような気がしました。
正規性が仮定できるのか不明で、ばらつきも非常に大きいような野外観測データを扱っているのですが、ランク化されたものの方が検出力が上がるというか、直感とよく合う結果が得られるように感じています。
今回のようなランク化+パラメトリック検定という手法と、一般的なノンパラメトリック検定(マン・ホイットニーのU検定やBrunner-Munzel 検定など)は、どのように使い分けがなされるべきなのでしょうか。
不勉強で恐縮なのですが、可能であれば再度ご回答いただけると嬉しいです。

お礼日時:2018/02/20 18:52

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