極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方ですよね。なのに、0.999・・・

Question

極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方ですよね。
なのに、0.999・・・＝1なんですか？
ということは、限りなく１に近づけると１になるということですか？
それだと極限の考えと矛盾しませんか？

矛盾のところについて詳しく説明お願いします

Damenundherren · Accepted Answer

> 極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方ですよね。

そしてそれはそれらが何に近づきつつあるのか？という「問い」です。
だから0.999・・・は 0.9, 0.99, 0.999, ... が何に近づくか？というと１です。
1.000・・・0001 も 1.1, 1.01, 1.001, ... が１に近づくから＝１です。

think2nd · Answer

「極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方ですよね.」について間違っているとはいいがたいが、正しい表現とも言えない。場合による。
　どうやら限りなく近づくが決してその値にはならないと、覚えていることが　理解の妨げになっているのではないでしょうか。
　矛盾のところが見えませんので限りなく１に近づけると１になるということですか？
　　はい1になります。逆に0.999･･･は1そのものです。そのことを解説します。
　　解説は回答諸氏と変わりありません。同じです。
　　　0.999・・=1は全く矛盾ではありません。
　　見方を変えて解説します。

一つ確認します。
　　　実数列{a[n]}が与えられ　n→∞のとき数列a[n]の極限値がαとなる。このとき
　　　　lim[n→0]a[n]=αと書きますが。
　　　　α=lim[n→0]a[n]と書いてもいいでしょうか。書いてもいいんだとしたら、このとき記号lim[n→0]a[n]は数字でしょうか。
　　
　a[1]=0.9=1-1/10　,a[2]=0.99=1-1/(10)^2,0.999=1-1/(10)^3・・・a[n]=0.999…9=1-1/(10)^n　(9がn個ある)
　と書けますから　lim[n→0]{1-1/(10)^n}=1と求められます。
　左辺のlim[n→0]{1-1/(10)^n}は数値ですからこれを数値で表そうとすると0.999…と書けることも数学のルールに従っています。

tknakamuri · Answer

例によって ANO13 補足(^^;

まず 0.9(9は無限個) = 1 とはどういうことかというと

0.9(9は無限個) という数が実在するということを認めるということ。
どうやって９を無限に並べるのかという議論は無視。無限にあると文字で書いておけばOK(^^;

でそれは A1=0.9, A2 = 0.99, A3=0.999 という数列の極限「値」 lim[n→∞]An = 1 と一致する
というように 「=」 の意味を拡張することも認めてしまいます。

この２つの仮定を認めてもなんら矛盾は発見されないからいいじゃないかというのが
「実無限」の考え方です。

An は決して 1 とは一致しませんが 0.9(9は無限個) は An の「極限値」と「定義」されているので
１と一致して問題ないというわけです。

そんな公理は何の根拠もないのだから認めないぞ　という派閥も存在します。
ただそうすると現代数学の「実数」のいろんな概念が吹き飛ぶので
あまり人気がありません。

fxq11011 · Answer

都合よく拡大して考えているだけとも・・・。
０．９９９９・・・・・こうして書けば紙の長さどれだけあっても足りません。
でも数値の値に比例して文字の大きさ、文字間隔を小さく、狭くして書けるものなら、書いていろ！、はともかく、可能としてもA4の紙で十分かもしれません。
アキレスは亀を追い越せない、ツェノンの逆理を地で行っているだけとも。
１との差は限りなく小さくなる、とも表現できます。
午前０時は前日の２４時か？、どちらが本当なのか？、というのと同じような気もします。
あなたはどちらを使いますか？、どのように使い分けていますか？。

Tacosan · Answer

「限りなく近づくが決してその値にはならない」というのは部分的には正しいけど, いかんせん
何が
が脱落しているので全体としてはおかしなことになっています.

0.999... は
a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999, ...
という数列の (添え字を ∞ に飛ばしたときの) 極限と解釈するのが普通で, その場合は (極限として) 1 に等しくなります.

さて, 同じ数列の極限として, 正の整数 n に対し
a_n = 2^(-n) sin(nπ/2)
で定義される数列を考えましょう. この数列の n→∞ の極限は存在するでしょうか? 存在するとしたら, それはいくつでしょうか?

konjii · Answer

0.999・・・＝1の理由は№４の方が正解です。この方はかなり数学に精通していらっしゃいます。
極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方ですよね。は間違っています。極限とはその値まで連続していることです。
この定義を№４の方が解説されています。

tknakamuri · Answer

>限りなく１に近づけると１になるということですか
違う。9の「無限個」の循環を「認める」ということと
極限は別物です。

また、「無限個」を認めないという数学も存在します。
「可能無限」と言います。この立場では1になりません。
学校で教えるのは「実無限」

lawson · Answer

極限の話はやめときます。
x=0.999999……
とおくと。
10x=9.9999……

10x-x=(9.9999……)-(0.9999……)

9x=9

x=1

ところで、
x=0.999999……
だったので。

1=0.999999……

です。

1=0.999999……
じゃなかったら。
(1÷3)×3=1
とできない。
それ、いろいろ
不都合、面倒。

その辺りの全体の体系で、
つじつまとか利便制とかで、
決め、定義したのでは？
と、思います

ibm_111 · Answer

>極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方ですよね。

いや、違います。
例えば、数列1,1,1,・・・の極限は1です。

sasa-san · Answer

もし、0.9999…≠1 であると仮定すると
0.9999…と1の間に境界値が存在することになります。
その境界値を 0.9999…+ε（εはとてつもなく小さな実数）
と表したとすると、
どの小数の位で1を足しても、
それ以降の位以下の分だけ確実に1より大きくなるので
1<0.9999…+ε
となり、境界値が1より大きいことになってしまい、仮定に矛盾します。

ゆえに、
0.9999…=1
となります。

さて極限のほうですが、
0.9999… となる無限級数を考えます。
一般項を x[k]=9/10^k
すると、
0.9999…=9/10^1 +9/10^2 +9/10^3 +…
=9{(1/10)^1 +(1/10)^2 +(1/10)^3 +…}

ここで、
x +x² +x³ +… +x^n =(x +x² +x³ +… +x^n)・(1-x)/(1-x)
=(x -x^(n+1))/(1-x)
と表されることから、x=1/10 としてみれば

9{(1/10)^1 +(1/10)^2 +(1/10)^3 +…}
=lim[n→∞] 9{(1/10) -(1/10)^n+1}/(9/10)
=lim[n→∞] 10{(1/10) -(1/10)^n+1}
=lim[n→∞] {1 -(1/10)^n}
=1
よって、極限値が1だとわかりました。

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そもそも極限とは、極限値もしくは境界値を指すものです。
つまり上の計算は0.9999…の境界値が1であることを言っているだけです。

一方、0.9999…=1の証明のほうは、
間の境界値が存在しないのだからイコールになる
と言っているわけですね。

極限の考えとは別の考えで=1になっていることを理解してください。

極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方ですよね。 なのに、0.999・・・