極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方ですよね。 なのに、0.999・・・

極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方ですよね。
なのに、0.999・・・＝1なんですか？
ということは、限りなく１に近づけると１になるということですか？
それだと極限の考えと矛盾しませんか？


矛盾のところについて詳しく説明お願いします

No.1 回答者： Mokuzo100nen 回答日時： 2018/03/13 19:22

極限において、その差が無視できる（ほど小さくなる）と言うことでござる。

No.2 回答者： のぶn 回答日時： 2018/03/13 19:26

0.99999≒1です

No.3 回答者： aurora703 回答日時： 2018/03/13 19:43

おおよそのことについては、一般的には四捨五入です。

矛盾していますがキリがありませんしキリよくするほうが、ことがうまく運ぶ場合もあります。

No.4 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/03/13 19:44

極限の定義をどうするかって問題です。

実数内で考えるなら、ε-δ 論法ですよね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97 …

これを定義とするなら、極限はその数値になってはいけないわけではないですね。
f(x)=1とかいう関数の場合　lim(x→0)f(x)=1ですから。

ご提示のケース0.99999・・・・に関しては、
どのような形で表現するかにもよりますが、
f(x)=1-1/10^xとして、

lim(x→∞)f(x)

などとした場合、

ｘを限りなく大きくすると、f(x)=１になるということではなく、、、

どんなに小さい値εを与えられたとしても、δ値というものが存在し、
xがそのδ値より大きい場合、f(x)はかならず1±εの範囲に収まるということです。

感覚的にとらえるなら、1になるってことですけど、、、
数学的にとらえるなら、なったかならなかったかは問題ではなく、
定義上の条件を満たしているってことです。

No.5 回答者： head1192 回答日時： 2018/03/13 20:37

開区間（０，１）を考えてください。

この区間には ０＜ｘ＜１となるあらゆる実数ｘが存在しますが、０と１だけは存在しません。
なので、0.9、0.99、0.999 と、より１に近づく次の数を用意することができますが、１だけはありません。
極限とはこのようなものです。

このように、１と表現しても、その元に１が含まれないことがあるのです。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/13 21:00

[1] 列p = (p[1], p[2], …）を

　　p[1] = 0.9
　　p[n] = p[n-1] + 9/(10^n)
としましょうか。この列 p = (0.9, 0.99, 0.999, … )の極限lim{n→∞}p[n] を qとすると、もちろん 極限qは1であり、かつ、この列pの要素は決して極限q = 1と同じではない。
[2] 0.999・・・ = 1である。

　[1]と[2]から言えることは、「0.999・・・ は列pの要素ではない」ということです。
　実際、pの要素はどれも"9"が有限個並んでいるのに対して、0.999・・・ の方は"9"が無限個並んでますからね。
　なので、[1]と[2]は矛盾していない。

　以上で話は終わりですけれども、このご質問が出るキモチというものは分かる気がします。そこで、もうちょっとそのキモチの部分を突っ込んでみますと…
　まず、ご質問の「極限とは、限りなく近づくが決してその値にはならない、という考え方」という捉え方はちょっとおかしいでしょう。上記[1]では「極限」という言葉が（「考え方」なんかを指していないで）具体的な数である1を指している、ということに注意してくださいな。これは「限りなく１に近づけると１になる」という所のおかしさを考えるともうちょっとハッキリするかなと思います。ポイントは、一体【何】を「近づける」と言っているのか、一体【何】が「なる」と言っているのか、という所です。1に近づいていく運動をする【何】かがあるわけじゃない。実際、0.9と0.99と0.999はそれぞれ別の数ですよね。「近づける」という言い方は、いわばたとえ話のようなもんであり、正確とは言えません。

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2018/03/13 21:26

0.999・・・＝1は数列

0.9、0.99、0.999、0.9999、･･･　の極限値が1であるという事実をあらわす記号です。
つまりこの数列の第ｎ項は
１－0.1^ｎ　なのでｎ→∞のとき1にかぎりなく近づきます。
しかしこの数列のどの項も1にはなりません。

No.8 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/03/13 22:04

＞それだと極限の考えと矛盾しませんか？

数学では、
「区別できないものは同一と考える」
ということです。

No.9 回答者： 海月9664 回答日時： 2018/03/13 22:21

考え方はそれで合っていると思いますよ。

その式はそもそも(限りなく近づく値)＝1を表しています。実際の値が1になるのとは違うと思いますよ。

No.10 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/03/14 00:08

もし、0.9999…≠1 であると仮定すると

0.9999…と1の間に境界値が存在することになります。
その境界値を 0.9999…+ε（εはとてつもなく小さな実数）
と表したとすると、
どの小数の位で1を足しても、
それ以降の位以下の分だけ確実に1より大きくなるので
1<0.9999…+ε
となり、境界値が1より大きいことになってしまい、仮定に矛盾します。

ゆえに、
0.9999…=1
となります。


さて極限のほうですが、
0.9999… となる無限級数を考えます。
一般項を x[k]=9/10^k
すると、
0.9999…=9/10^1 +9/10^2 +9/10^3 +…
=9{(1/10)^1 +(1/10)^2 +(1/10)^3 +…}

ここで、
x +x² +x³ +… +x^n =(x +x² +x³ +… +x^n)・(1-x)/(1-x)
=(x -x^(n+1))/(1-x)
と表されることから、x=1/10 としてみれば

9{(1/10)^1 +(1/10)^2 +(1/10)^3 +…}
=lim[n→∞] 9{(1/10) -(1/10)^n+1}/(9/10)
=lim[n→∞] 10{(1/10) -(1/10)^n+1}
=lim[n→∞] {1 -(1/10)^n}
=1
よって、極限値が1だとわかりました。


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そもそも極限とは、極限値もしくは境界値を指すものです。
つまり上の計算は0.9999…の境界値が1であることを言っているだけです。

一方、0.9999…=1の証明のほうは、
間の境界値が存在しないのだからイコールになる
と言っているわけですね。

極限の考えとは別の考えで=1になっていることを理解してください。