「接する」の厳密な定義とは？

直線 y=ax+1 が曲線 y=√(2x-5) - 1 に接するように、定数aの値を求めるような問題について。
両式でyを消去し、判別式が0となる時のaを（y>=-1に注意して）求める、ごく普通のやり方で問題なくaは求められるのですが、この曲線には端点(5/2, -1)が存在します。直線が端点を通る場合は「接する」と言わないのですか？今までの経験でなんとなく言わないだろうな、とは思えるのですが、どういう場合に「接する」というのですか？

接する→接線が一意に決まる→その点で微分可能　と考えると、今の場合端点(5/2, -1)では微分不可能だと思います。だから接するとは言わない？でも今は直線 y=ax+1 という条件があるので、点(0,1)を通りかつ点(5/2, -1)を通る線なら傾きがわかるので、接するといってもいいんじゃないか？などといろいろ考えますがよくわかりません。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/05 21:43

端点でも片側微分可能だから、それで接線を定義するんだと

思いましたが、確証とってないです。

「接っする」は英語のtouched と tangent が有るけど
数学は恐らくtangent の意味で、接線や接平面を共有する
のがイメージだと思います。

この回答へのお礼

お礼が遅くなってすみません。ご回答ありがとうございました。それにしても、いろいろな方からご回答いただいたのですが、「数学ではこのように定義されている」というハッキリしたご回答がないのがかなり衝撃でした。個々の問題ごとに、いろいろな解釈が可能なんですかね。

お礼日時：2018/04/07 20:05

No.6 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/04/05 09:12

「接線」(tangent line)の定義は

継続的な微分可能な曲線において、無限に近づけた二点を通る直線⇔傾きが微分の直線
ということになるのではないかな（ライプニッツ）

「接する」（tangent）にどういう定義をするかの問題ですが、
1点を共有する
ということなら、曲線の端に接する直線は限りなくあるけれど、接線はないということになる。

この回答へのお礼

お礼が遅くなってすみません。ご回答ありがとうございました。
共有するけれど接線は定義できないっぽいですね。

お礼日時：2018/04/07 20:02

No.5 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/05 01:39

題目に興味を惹かれたので、内容ではなく題目について思うところを書きます。

（問題の回答ではなく申し訳ありません）
自分の中で、「接する」は、大きく2種類の定義が考えられます。

(1) ある曲線の関数と直線（1次関数もしくは0次関数）の場合：
曲線の導関数（傾きの度合い）と直線の傾きが同値でかつ、元の曲線と直線が1点以上つながること

(2) ある曲線の関数と、形状が異なる別の曲線の関数の場合：
曲線の導関数（傾きの度合い）と形状が異なる曲線の導関数（傾きの度合い）が同値でかつ、その箇所で曲線同士が1点以上でつながること

なぜ2つの定義を書いたのかというと、(1)でも(2)でも複数箇所接するケースが考えられるからです。

(1)の例として、y=cosxとy=1が挙げられます。
この2つの関数はx=2n*pi(n:整数, pi:円周率), y=1のとき接します。
書くまでもありませんが、接する数は無数にあります。

上記の例は極端ですが、4次以上の偶数(2n)次の関数で、極値が3以上(2n-1)個以下であれば、ある1次関数と2つ以上接するケースはありえると思います。

(2)の例だと、例えばx軸で反転した２つの4次以上の偶数(2n)次の関数を仮定すると、偶数(2n)次の関数のグラフ形状次第ですが、y=0のところで複数箇所接するケースはありえると思います。

自分の書きたいことは、「接する」は1箇所とは限らないということです。

この回答へのお礼

ご回答いろいろありがとうございます。確かに、曲線の形によっては複数個所で接しますね。参考になりました。

お礼日時：2018/04/05 07:53

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/04 16:34

ふつうは割線の極限で定義するんじゃないでしょうか.

曲線 C上の 2点 P, Q に対し直線 PQ を (2点 P, Q を通る) 曲線 C の割線と定義して, Q を P に近づけたときの割線 PQ の極限を「(C 上の点 P における) C の接線」と定義する, という感じ.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。この定義でPを端点に取れば、Q→P の極限で接線はx=5/2となっちゃいますかね。（ちょっと自信がありませんが）
端点だから左極限はないので、微分できてしまう。。。これでいいんでしょうか。

お礼日時：2018/04/05 07:42

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/04 15:08

端点や尖った頂点（例：ｙ＝｜ｘ｜の原点）には無限の接線があり、特定できないので（定義出来ないので）そこには接線はありません。

y=√(2x-5) - 1の接線の傾きはｄｙ/ｄｘ＝a=1/√(2x-5) - 1です。ｘ＝5/2でaは確定できません。曲線 y=√(2x-5) - 1 に接する直線はｘ＞5/2で
曲線 y=√(2x-5) - 1 のｘ₁＞5/2の領域で、ｙ＝（1/√(2x₁-5) - 1）ｘ＋１が曲線に接する直線になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。なるほど、特定できない場合は「なし」と解釈するのですね。定義域のないy=x^2の最大値を「なし」と答えるのと同じですね。

お礼日時：2018/04/05 07:29

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/04/04 14:58

曲線に接する直線というのは、曲線を1点のみ共有する直線ということですが、

線分に関しては、端の接線というのは定義されていないのではないかと思います。

実際の求め方は、こんな感じかと思いますが、、、
ax+1 =√(2x-5) - 1
ax+2=√(2x-5)
(ax+2)²＝2x-5 (x≧5/2)
a²x²+4ax+4-2x+5=0
a²x²+(4a-2)x+9=0

複数解がないことから、
(4a-2)²-36＝0
（4a-2+6）(4a-2-6)=0
(4a+4)(4a-8)=0
a=-1,2
だけど、、、a=-1のときは、ダメだよね。　これは二乗しちゃったから出てくる答えですね。
y=x²を縦横ひっくり返したような右が開いている曲線に対する接線を求める形になっているのだと思う。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。おっしゃる通りで、解答では端点を通る場合は解ではありません。

お礼日時：2018/04/05 07:26

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2018/04/04 14:57

連続関数であっても、微分不可でも1点で交わる場合あるので、最後の微分可能は？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。連続関数で微分不可能でも１点で交わる場合はあるんですね。

お礼日時：2018/04/05 07:23