数1Aの確率について質問です。 下の写真の⑶ですが、解答は 一以外の２つは、5✖️4通りで 1の配置

数1Aの確率について質問です。
下の写真の⑶ですが、解答は
一以外の２つは、5✖️4通りで
1の配置は、3C1の3通りなので、
5×4×3 5
--------=----という答えでした。
6×6×6 18
これは、理解できるのですが、中学で習った確率は使えないのでしょうか？
例えば、サイコロ一回振る時の6の倍数が出る確率は
2の倍数の出る確率の1/3✖️さんの倍数の出る数1/2
で1/6となりますよね？
それなら、下の写真の⑶も⑴の確率と、⑵の確率の積にならないのでしょうか？
回答お願いします

No.5 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2018/04/10 12:17

他の回答にもあるように、事象Ａと事象Ｂが独立であれば、事象ＡかつＢの確率は、事象Ａの確率×事象Ｂの確率で求められますが、独立ではない場合は求められません。

雑に考えると
３つの目の全て同じ場合に少なくとも１つは１の目が含まれる確率は１／６
２つの目が同じで一つ違う場合に少なくとも１つは１の目が含まれる確率は１／３
全ての目が違う場合は少なくとも１つは１の目が含まれる確率は１／２
のはず。
少なくとも何個の目が揃ったかで１の目が含まれる確率が変わるので、事象Ａと事象Ｂは独立ではないということです。

その上で、サイコロを振って６の目が出る確率を考えると・・・・
２の倍数が出る確率×３の倍数が出る確率＝６の倍数になる確率
であるのは単なる偶然です。
２の倍数の中で３の倍数の比率がたまたま全体の中の３の倍数の比率と同じであり、
３の倍数の中で２の倍数の比率がたまたま全体の中の２の倍数の比率と同じであっただけです。

たとえば、１から１０のカードの中の任意の１枚が
６の倍数である確率は１／１０
２の倍数である確率は５／１０＝１／２
３の倍数である確率は３／１０
２の倍数である確率×３の倍数である確率＝１／２×３／１０＝３／２０≠１／１０
です。
理由としては、
３の倍数の３，６，９の中に２の倍数が１／３しかないし、
２の倍数の２，４，６，８，１０の中に３の倍数が１／５しかないからです。

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/08 16:40

（１）６×５×４÷６³＝５/9

（２）５×４÷６³が３組２０×３/216×＝５/18
（３）Ｂ∈Ａより５/18
（４）（５/18）/（５/18）=1

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/08 05:22

事象AとBが「独立」でないと駄目ですね。

本来

事象Aの確率 × 事象Aが起きた場合の事象Bの確率=事象ABが同時に起きる確率
あるいは
事象Bの確率 × 事象Bが起きた場合の事象Aの確率=事象ABが同時に起きる確率

です。独立なら
事象Aが起きた場合の事象Bの確率=事象Bの確率
事象Bが起きた場合の事象Aの確率=事象Aの確率
となるので、単純な掛け算にできます。

因みに質問の
P(A)=6・5・4/6^3=5/9
P(B)=(6^3-5^3)/6^3=91/216
となるので、P(C)≠P(A)P(B)
は明らかです。

>サイコロ一回振る時の6の倍数が出る確率は
>2の倍数の出る確率の1/3✖️さんの倍数の出る数1/2
>で1/6となりますよね？

これは2と3が互いに素だから成立しますが
1と3では成立しません。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/08 01:52

「サイコロ一回振る時の6の倍数が出る確率」1/6 が「2の倍数の出る確率の1/3✖️さんの倍数の出る数1/2」と等しいというのは, ここで使う「サイコロ」というものが「1 から 6 までの目が等確率で出る」ことに依存しています. つまり, 2, 3, 6 という数字がたまたま都合がよかったというわけです. 同じように見えても

サイコロを 1回振って出た目が 10 の倍数である確率
は「2 の倍数の出る確率と 5 の倍数の出る確率の積」ではありませんよね.

一般に 2つの事象 A, B に対してその積事象の確率がそれぞれの事象の確率の積であるときに, それらの事象を「独立」と呼びます. そして, たいてい「確率を計算することで独立かどうかがわかる」のです.

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2018/04/08 01:22

ならない。

2 は偶数で 3 は奇数であるから、ある数字が 2 の倍数かつ 3 の倍数になる事が無い。
これを排他 exhaustive と言う。
排他が成り立つなら、あなたの言う通りに掛け算を使える。

一方で問題の事象 A と事象 B は同時に成立する。
ベン図を描けば、重なる部分が存在する。
この為に排他が成立しないし、従って掛け算できない。