この問題教えてください！お願いします。

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No.2 ベストアンサー 回答者： metabolian 回答日時： 2018/04/25 04:43

（１）No.1さんと同じなので省略。

（「階差数列」を利用してます。）

（２）求める和をT(n)と置くと、
T(1)=1/a(1)=1/2、
T(2)=(1/a(1))+(1/a(2))=1/2+1/6=2/3、
T(3)=(1/a(1))+(1/a(2))+(1/a(3))=1/2+1/6+1/12=3/4、…
ここから、
T(n)=(1/a(1))+(1/a(2))+…+(1/a(n))= n/(n+1) …（A）
と"推測"する。

数学的帰納法を使って証明すると、
① n=1のとき、T(1)=1/a(1)=1/2
② n=kのとき、T(k)=k/(k+1)が成り立つとすると、
n=k+1のとき、T(k+1)=T(k)+(1/a(k+1))
=(k/(k+1)) + (1/(k+1)(k+2))
= (k+1)^2/(k+1)(k+2)
= (k+1)/(k+2)
よって、すべてのnについて （A）が成り立つことが証明された。

（３） 右辺を通分して計算すると、分子=(a-b)k+2a
これが左辺の分子と等しくなるので、
a-b=0, 2a=1 ∴ a=b= 1/2

すると、Σ( 1/S(n)) = Σ ( 3/n(n+1)(n+2) ) (←（１）で求めたS(n)の答えより）
=3・Σ ( 1/n(n+1)(n+2) )
=3・Σ ((1/2) {(1/n(n+1))- (1/(n+1)(n+2)) } (←（３）の"等式"を利用）
=(3/2)・Σ{(1/a(n))- (1/a(n+1)) ｝ (←（１）で求めたa(n)の答えより）
=(3/2)・Σ(1/a(n))- Σ(1/a(n+1)) ｝ (← Σを別々に計算できる）
=(3/2)・{T(n)- T(n+1) ｝ (←ここで（２）の結果を利用）
=(3/2)・{(n/(n+1)) - ((n+1)/(n+2))}
= … = (3/2)・(1/(n+1)(n+2)) [答え]

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/24 23:34

（1）

a₂－a₁＝4　
a₃－a₂＝6
a₄－a₃＝8
　････
と2ずつふえてくので
an－an-1＝2n　これらを辺々加えていくと
an－a₁＝n(n＋1)－2、a₁＝2なのでan＝n(n＋1)
Snはak＝k²＋kのk＝1からnまでの和＝(1/3)n(n＋1)(n＋2)

（2）
1/an＝1/n(n＋1)＝1/n－1/(n＋1)と変形すればよい。
答えは　1－1/(n＋1)＝n/(n＋1)
（3）
a＝1、ｂ＝1　とおいて右辺を計算すれば左辺の2倍になるのでa＝ｂ＝1/2とすればよい。
あとは1/Sk＝3/k(k＋1)(k＋2)＝(3/2){1/k(k＋1)－1/(k＋1)(k＋2)}をk＝1からnまで加える。
答え　(3/2){1/2－1/(ｎ＋1)(ｎ＋2)｝
計算は確認してくださいね。