大学数学のε-δ論法についてです。 limf(x)＝Aの意味は、 x→a xが限りなくaに近づくとき

大学数学のε-δ論法についてです。

limf(x)＝Aの意味は、
x→a

xが限りなくaに近づくとき、f(x)は限りなくAに近づく(高校数学)
→lx―alが限りなく小さくなるとき、lf(x)―Alは限りなく小さくなる。
　
→ どんなに小さな正の ε に対しても |x−a| を十分小さくすれば |f(x)−A|<ε| となる。

→ 任意の正の実数 εに対して，ある正の実数 δが存在して，0<|x−a|<δ なら 、　　|lf(x)−A|<ε

高校数学のやつの下からなぜそのようになるのか意味がわかりません。
誰か助けてくださいm(__)m

No.1 ベストアンサー 回答者： head1192 回答日時： 2018/04/26 16:26

＞lx―alが限りなく小さくなるとき、lf(x)―Alは限りなく小さくなる。

たとえば階段関数の場合lf(x)―Alは小さくならず、f(x)はｘ＝aの直前まで一定の値を取り続ける。
そうはならないので、この関数は「連続」である。

＞どんなに小さな正の ε に対しても |x−a| を十分小さくすれば |f(x)−A|<ε| となる。
「連続」であるので、どんなに小さな数字（ε）を持ってきても、それより小さいlf(x)―Alを考えることができる。

＞任意の正の実数 εに対して，ある正の実数 δが存在して，0<|x−a|<δ なら 、　　|lf(x)−A|<ε
２行目の言い換え

このようにε-δ論法は、関数の「連続性」を中心に解釈すると敷居が下がります。
ε-δ論法自体、ざっくり言えばその関数が連続であることの厳密な記述でしかないからです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/26 21:44

「なる」というのはちょっと変。

そもそも、高校で習う「限りなく近づく」という表現には
明確な定義がありません。

これじゃ全然数学にならんから何とかしようと考えだされたのが
ε-δなんで、同じかどうかなんて誰にもわからないです。

それにεが小さくなるとδも小さくなるとは限らないから、高校の極限
とは別物と思ったほうがいい。

それと蛇足だけど
0<|x−a|<δ は ，|x−a|<δ とする流儀も結構多いので
注意しよう。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/26 16:38

→ どんなに小さな正の ε に対しても |x−a| を十分小さくすれば |f(x)−A|<ε| となる。

には人の主観が入っています。
どんなに小さな正の・・・①
十分小さくすれば ・・・②
です。
①を数式化すると
は任意の正の実数 ε
②を数式化すると
はある正の実数 δが存在して，0<|x−a|<δ
任意の正の実数 εに対して|f(x)−A|<εとなるような
δの関数ε（δ）が見つかればｆ（ｘ）はAにおいて連続であることになります。
実際のｆ（ｘ）とAからδの関数ε（δ）を見つければ証明は終わりです。