関数の逆関数を求めよ なおtanxの逆関数は主値を設定すること ①y=tanx ②y=x^2-2x-

関数の逆関数を求めよ
なおtanxの逆関数は主値を設定すること

①y=tanx
②y=x^2-2x-6

逆関数にはどう直しますか？
また主値とはなんでしたっけ？
学校休んでしまって遅れぎみです。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 反対にしてから
  xとyを入れ換えるのですか？

    補足日時：2018/05/28 12:02

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/05/28 16:30

逆関数にはどう直しますか？＞

①y=tanx
逆関数を求めるには次の二つを実行すると：(1)もとの式のxとyを入れ替える。
するとx=tanyとなる。
(2)これをyについて解いて、「y=･･･」の形にする。するとy=arctan(x)となる。
また主値とはなんでしたっけ？＞
例えばy=ax+bの逆関数なら、x=ay+bをyについて解いて、y=(x－b)/aとなる。
y=ax+bはxの単調関数だから、逆関数が一つに求められる。単調関数でない時は、逆関数が一つにならないので、xの範囲を限定して、その範囲だけで使う逆関数を考える。これを主値という。
tan xは、－π/2＜x＜π/2の範囲で単調であるから、その逆関数を考えることができて、
その逆関数の値を主値といい、大文字を使ってArctan(x)で表す。
だから－π/2＜Arctan(x)＜π/2が成立する。
参考関連事項
sin xは、－π/2≦x≦π/2で単調だから、x の変域をこの範囲に限定して、sin xの逆関数の主値をArcsin(x)で表す。－π/2≦Arcsin(x) ≦π/2が成立する。
cos xは、0≦x≦π単調だから、cos xの逆関数の主値をArccos(x)で表す。
0≦Arccos(x)≦πが成立する。
y=x^2は、x＜0で減少関数、x＞0で増加関数だから、単調関数ではない。
そのため、逆関数は一つにならない。xの変域をx≧0に限定すると単調関数になるので、この範囲に限定した逆関数をy=√xと定める。√x≧0が成立する。逆関数のもう一つの値は－√xである。
y=√xを、慣習的に、√xの主値とは言わないが、理屈としては、主値である。
図はy=tanxのグラフで、曲線が３本見られる。この曲線は左右に無限に繰返している。
xの範囲を矢印の中だけに限定すると、単調増加の１本の曲線になる。この曲線はy=tanxで、これからxを求めると、x=Arctan(y)となる。
②y=x^2－2x－6
逆関数を求める上記の手続き(1)xとyを入れ替えるとx=y^2－2y－6。手続き(2)yについて解くと
y^2－2y－6－x=0，y=1±√(7+x)。これがy=x^2－2x－6の逆関数である。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/05/28 12:20

そうです、ｙ＝・・・をｘ＝・・・にしてから後の方でｙとｘを入れ替えたのが逆関数です。

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/28 10:30

【逆三角関数】より

…それを逆正弦関数と呼んで，　x＝arcsiny，またはx＝sin－1yと書くこともある。この場合には，前に述べたArcsinyを逆正弦関数の主値という。逆余弦関数arccosy(cos－1y)，逆正接関数arctany(tan－1y)など，およびそれらの主値という言葉も，同様に定義される。…
※「主値」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
出典｜株式会社平凡社世界大百科事典 第２版について | 情報


三角関数は単射ではありません.
したがって, (工夫をしないと) 逆関数は存在しません. 真の意味の関数 (写像) ではなく, 擬似的な多価関数になってしまう.
三角関数の定義域を R ではなく, 狭めることによって, 全単射にすることができ, その結果として, 逆関数すなわち逆三角関数が定義できます.
そのように "代表の区間" として決めた元の関数の定義域 ⇔ 逆関数の値域の制限によって定めた関数を主値といいます.
x=sin(y), -π/2≦y≦π/2 ⇔ y=Arcsin(x), -1≦x≦1, ただし -π/2≦y≦π/2
x=cos(y), 0≦y≦π ⇔ y=Arccos(x), -1≦x≦1, ただし 0≦y≦π
x=tan(y), -π/2<y<π/2 ⇔ y=Arctan(x), -∞<x<∞, ただし -π/2<y<π/2

ですから、定義域と値域のような関係で、どの範囲なら定義されるかという範囲のことでしょう！

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/05/28 08:59

①y=tanxの逆関数はｘ＝arctany　主値は-π/2<x<π/2（ｘ＝±π/2でｙ＝∞にかるから）

②y=x^2-2x-6の逆関数はｘについて解いてｘ＝１±√（７＋ｙ）ここでｘとｙを入れ替えて
ｙ＝１±√（７＋ｘ）が②の逆関数です。