次の単振動の問題を教えてください。物体Aが地面から離れるときはバネの上向きの弾性力は(m＋M)gより

次の単振動の問題を教えてください。物体Aが地面から離れるときはバネの上向きの弾性力は(m＋M)gよりも大きいときであることは予想つくのですが、立式がうまくできません。ちなみに正答は2.です。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/01 10:51

運動の途中経過を時間の関数で表わすのは大変だけど、極限値同士の比較であれば、エネルギー保存則を使ってできると思います。

(a) ばねの自然長から静的にＢを載せて縮む距離を L1 とすると、
　-mg = -kL1
より、
　 L1 = mg/k

(b) それをさらに静的に力を加えて x だけ縮めたので、合計の縮みは L1 + x で、そのときのばねの弾性エネルギーは
　E1 = (1/2)k(L1 + x)^2 = (k/2)(mg/k + x)^2

その位置をＢの位置エネルギーの基準とします。
かつＢは静止しているので、運動エネルギーはゼロ。

なので、このときの系の持つエネルギーは
　E0 = E1 = (k/2)(mg/k + x)^2　　　　①

(c) 一方、Ａが浮き上がるためには、Ｂが単振動の上端に行って静止したときのばねののび L2 が、Ａを持ち上げるだけの復元力（縮む力）を持てばよいのです。ここでは、「持ち上がる瞬間ののび」を L2 として
　Mg = kL2
より
　L2 = Mg/k

そのときのばねの弾性エネルギーは
　E3 = (1/2)k(L2)^2 = (1/2)k(Mg/k)^2

かつ、ばねを縮めた位置から増加した B の位置エネルギーは
　E4 = mg(x + L1 + L2) = mg(x + mg/k + Mg/k)

最高点でＢが静止したときなので、そのときのＢの運動エネルギーはゼロ。

なので、このときのエネルギーの合計値は
　Ep = E3 + E4 = (1/2)k(Mg/k)^2 + mg(x + mg/k + Mg/k)　　　　②

(d) ①②より、Ａが持ち上がるには
　E0 > Ep
持ち上がらないためには
　E0 ≦ Ep
であればよいので
　(k/2)(mg/k + x)^2 ≦ (1/2)k(Mg/k)^2 + mg(x + mg/k + Mg/k)

あとは、これを解いて x の満たす条件を求めましょう。

一度展開して
　m^2g^2/2k + mgx + (k/2)x^2 ≦ M^2g^2/2k + mgx + m^2g^2/k + Mmg/k
両辺の mgx が消えて、x で整理すると
　(k/2)x^2 ≦ M^2g^2/2k + m^2g^2/k + Mmg/k - m^2g^2/2k
　　　　　　= M^2g^2/2k + m^2g^2/2k + Mmg/k
　　　　　　= (M^2 + 2Mm + m^2)g^2/2k
　　　　　　= (M + m)^2 *g^2/2k
よって
　　x^2 ≦ (M + m)^2 *g^2/k^2
x>0 であるから
　　x ≦ (M + m)g/k

この回答へのお礼

ありがとうございます。計算量結構煩雑になってしまうのですね。。

お礼日時：2018/06/03 21:20