高1の数学についてです。 絶対値を含む方程式・不等式の問題で、 |x|=aの解は、x=±a |x|＜

高1の数学についてです。
絶対値を含む方程式・不等式の問題で、

|x|=aの解は、x=±a
|x|＜aの解は、-a＜x＜a
|x|＞aの解は、x＜-a、a＜x

↑のような公式？を使う時と、場合分けする時の違いがわかりません。

例えば、私は|x-3|＜2は上の公式を使って解けたんですけど、
場合分けして、|x-3|＞=0と、|x-3|＜0、と考えて絶対値記号を外して解く、という手間を省いただけで、
どの問題も場合分けをすれば答えが出せるものなんですか？

文が分かりづらくてごめんなさい。
教えてください、お願いします。

No.1 回答者： niratm 回答日時： 2018/06/05 22:19

公式とは言わないかもしれませんね。

場合わけして書くのが面倒だから、
省略して書いているだけです。
(やっていることは同じです)


場合わけして書くことが基本ですので、
省略形で書くときは、「面倒だから省略する」という意識で
使ったほうがいいです。


例えば、以下のような問題があったとして、
何も考えずに省略形で解こうとすると、ちょっと不自然な流れになります。
　|x^2| = 4　　(xの2乗の絶対値 = 4)

何も考えずに、
　x^2 = ±4
とやってしまうと、
　x^2 = -2
という余計な場合を書いてしまうことになります。

こういう場合は、x^2 ≧ 0だから、
　|x^2| = x^2 = 4
となる、というように、最初に絶対値を外してしまうほうが自然です。


※補足(というか蛇足)
もっと高度になってくると、しばしば初等的な話は、「自明」という言葉で
省略することがあります。

ただ、注意しないと、「自明」と言って省略した内容が間違ってたり・・・・
なんてこともよくあるので、省略して書くのは十分注意が必要です。

この回答へのお礼

なるほどです…！！ありがとうございました！

お礼日時：2018/06/05 23:39

No.2 回答者： niratm 回答日時： 2018/06/05 22:42

No1です。

タイプミスがあったので訂正します。

> 何も考えずに、
> 　x^2 = ±4
> とやってしまうと、
> 　x^2 = -2
> という余計な場合を書いてしまうことになります。
→　x^2 = -4

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/05 23:02

(A)

＞|x|=aの解は、x=±a

これは a = |x| ≧0 ということです。

なので
・0≦x なら x=a
・x<0 なら x=-a
ということです。

あくまで「0≦x なら」「x<0 なら」という条件下で、符号が決まります。

(B)
＞|x|＜aの解は、-a＜x＜a

これは 0≦|x|＜a　ということです。

なので
・0≦x なら (0≦)x<a
・x<0 なら x=-a(<0)
ということです。

この場合にも、あくまで「0≦x なら」「x<0 なら」という条件下で、符号が決まります。

(C)
＞|x|＞aの解は、x＜-a、a＜x

これは、正しくありません。
|x|＞a≧0 のことも、|x|＞0>a のこともあり得るからです。
これらは x, a 両方の場合分けが必要になります。

(i) |x|＞a≧0 のとき
・0≦x なら a<x
・x<0 なら x<-a(<0)

(ii) |x|＞(0>)a のとき
　これは「絶対値」の定義から、すべての x に対して成立します。


＞例えば、私は|x-3|＜2は上の公式を使って解けたんですけど、
＞場合分けして、|x-3|＞=0と、|x-3|＜0、と考えて絶対値記号を外して解く、という手間を省いただけで、
＞どの問題も場合分けをすれば答えが出せるものなんですか？

この場合にはそれでも解けます。上の (B) のケースだからです。

では、
　|x - 3| > -2
だったらどうですか？
「公式」によると

　x<2, -2<x

ですね？　つまり
　-2 < x < 2　　　※
ですか？

x=3でも
　|3 - 3| = 0 > -2
でも成立しますよ？
ということで、※は間違いです。

つまり、（C) のケースで、a<0 の場合には、お示しの「公式」とやらは使えません。
数字で表された不等式ならよいですが、「記号」で正か負か分からない場合には、きちんと「場合分け」をしないといけません。

「公式」は、適用できる条件・限界を知った上で使いましょう。

この回答へのお礼

よくわかりました…本当にありがとうございます！

お礼日時：2018/06/05 23:38

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/06 00:12

No.3です。

もう一言。

「公式」を機械的に使うのではなく

|A| は
・A≧0 のとき |A| = A ( > 0 )
・A<0 のとき |A| = -A ( > 0 )

と覚えておけば、いかなる場合にも使えます。

何故なら、「A」は正か負か（または 0 か）ですが、|A| は常に正（または 0 ）ということだからです。

この回答へのお礼

たくさん本当にありがとうございました、助かりました！

お礼日時：2018/06/07 21:46

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2018/06/06 10:25

絶対値記号の理解とグラフを書けばわかるはず！

きっと、数学を暗記として、とらえているからわからないのでは！？
3つとも、グラフを書けば、全て同じことがわかる！つまり、
y=I x I
と、y=a
のグラフを書こう！

この回答へのお礼

本当にその通りで、理系が無理でいつもそうしてしまいます…書いてみます！ありがとうございます！

お礼日時：2018/06/07 21:45

No.6 回答者： きたかぜ0909 回答日時： 2018/06/07 18:46

|x|の絶対値を外すには

(1)x<0のとき
と
(2)x>0のときに場合分けをします。(x=0についてはどちらかに含んで下されば構いません。)
(1)では絶対値は原点(0のとこ)からの「距離」であり、必ず正になることからそのままではおかしいので「-」をかけてはずし、「x」となります。
(2)ではそのままでも正なのでそのままはずします。
そして、この2つの場合分けを
|x|=a
|x|<a
|x|>a
の3つの式のときにも考えると、
等式では
±x=aの式変形をしてx=±aとなり
2番目の式では
x<aと-x<aが出てきて、その式変形からx<aとx>-aとなり、まとめて-a<x<aとなり、
3番目の式から
x>aと-x>aとなりその式変形からx>aとx<-aとなります。
これらの理論が分かればその応用で解けると思います。公式はその出来方が最重要なので公式は覚えずにその出来方を考えましょう。

この回答へのお礼

公式とかなんでも暗記で考えようとするから後々大変になるんですよね…ありがとうございます！！

お礼日時：2018/06/07 21:45