力学の問題です。(１)は分かりますが、他の問題が分かりません。

力学の問題です。(１)は分かりますが、他の問題が分かりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/22 21:16

「慣性モーメント」は高校物理には出てこないので、大学レベルの力学ですね？

ということは、「微積分」が使えることでよろしいですね？

(1) は、「円の面積」が求められれば中学生でも解けます。
　内側の面密度を ρ1、外側の面密度を ρ とすれば、ρ1 = aρ
ここで
・内側の面積：S1 = パイ(R/2)^2 = (1/4)パイR^2
・外側の面積：S2 = パイR^2 - パイ(R/2)^2 = (3/4)パイR^2
なので、
　S1*ρ1 + S2*ρ = m　
より
　(1/4)パイR^2 * aρ + (3/4)パイR^2 * ρ = m
→　ρ(a + 3)パイR^2 /4 = m
→　ρ = 4m/[ (a + 3)パイR^2 ]

よって、
・内側の面密度：4ma/[ (a + 3)パイR^2 ]
・外側の面密度：4m/[ (a + 3)パイR^2 ]

(2) 円板の慣性モーメントは、求め方も含めてテキストに書いてあると思いますが、必要なら下記のようなサイトを参考に自分で求めてください。
「質点の慣性モーメント」が I = mr^2 であることを利用して、これを体積全体に積分することで、その形状に応じた慣性モーメントが求まります。
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
http://eman-physics.net/dynamics/angular.html

円板の慣性モーメントは、径を a として
　I = パイρa^4/2
円環の慣性モーメントは、外径 b 、内径 a に対して
　I = パイρ(b^4 - a^4)/2
です。

この問題の場合には、
・内側の慣性モーメント：
　I1 = (1/2)パイ(R/2)^4 * 4ma/[ (a + 3)パイR^2 ]
　　= (1/8)R^2 ma/(a + 3)　　　　①
・外側の慣性モーメント：
　I2 = (1/2)パイ[ R^4 - (R/2)^4 ] * 4m/[ (a + 3)パイR^2 ]
　　= (15/8)R^2 m/(a + 3)　　　　②
になります。

慣性モーメントの求め方、ないしは「公式」を知らなければ解けません。

(3) 「並進運動」と「回転運動」の運動エネルギーが、斜面を登ることで「位置エネルギー」に変わり、斜面上で停止したときにはすべてが位置エネルギーになることを利用します。

「並進運動」の運動エネルギーは、重心位置の速さ v0 で
　　Eg = (1/2)mv0^2
「回転運動」の運動エネルギーは、角速度を ω とすると
　　Er = (1/2)(I1 + I2)ω^2　　　③
で、周速度が v0 なので
　　ω = v0/R
であり、③は
　　Er = (1/2)(I1 + I2)v0^2 /R^2
これに①②を代入して
　　Er = (1/16)(a + 15)mv0^2 /(a + 3)

これが、重心位置の高さが h の位置エネルギーに等しくなるので
　　mgh = Eg + Er = [ 1/2 + (1/16)(a + 15)/(a + 3) ]mv0^2
よって
　　h = [ 1/2 + (1/16)(a + 15)/(a + 3) ]v0^2 /g　　　④

(4) ④ が最大になるのは
　　(a + 15)/(a + 3) = 1 + 12/(a + 3)
が最大になるとき、つまり
　　a = 0
のとき。
これは、質量が全部外側の円環にあるときということ。

そのときの h は、④から
　　h = (1/2 + 5/16)v0^2 /g
　　　= (13/16)v0^2 /g

計算違いがあるかもしれないので、確認しながらやってみてください。

この回答へのお礼

非常に分かりやすく、丁寧に解説していただきありがとうございます。

お礼日時：2018/06/22 21:27