A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
続きです。
実際やると、そこそこ面倒です。∫dv/(-g-Av+Bv^2)=∫dt
B>0でしょうから、Bv^2-Av -g =0は相異なるα,β(α<β)実数解をもちます。
∫dv/((v-α)(v-β))=∫Bdt
1/(β-α)∫( 1/(v-β)-1/(v-α))dv=∫Bdt
k=B/(β-α)とおきます。
log|(v-β)/(v-α)|=kt+C
(v-β)/(v-α)=C1exp(kt)
v=(αC1exp(kt) –β)/( C1exp(kt)-1)
z=∫vdt=∫(αC1exp(kt) –β)/( C1exp(kt)-1)dt
(u= C1exp(kt), du=kC1exp(kt)dt=k*udt)
=∫(αu-β)/(ku(u-1))du
= (1/k)∫(αu-β)/( u(u-1))du
=(1/k)∫(β/u+(α-β)/(u-1))du
=(1/k)(βlog|u|+(α-β) log|u-1|)+C2
=(1/k)(αlog|u|+(β-α) log(|u|/|u-1|))+C2
=(1/k)(αlog|C1exp(kt)|+(β-α) log(|C1exp(kt)/( C1exp(kt)-1)|))+C2
=(1/k)(αlog|C1|+αlog(exp(kt))+(β-α) log(|C1exp(kt)/( C1exp(kt)-1)|))+C2、
=αt+ (1/k)(αlog|C1|+(β-α) log(|C1exp(kt)/( C1exp(kt)-1)|))+C2
となります。
ここで、定常状態での様子を調べてみましょう。
k>0ですから、exp(kt)→∞ (t→∞)
したがって、
t→∞のとき、 z=αt+o(t)、 dz/dt=v=α+o(1)
v=α+o(1)は、下記微分方程式の右辺を略0にして矛盾しない事が分かります。
dv/dt=-g-Av+Bv^2
αは上記右辺の零点であること、およびα<0に注意。
No.2
- 回答日時:
先ず、
v=dz/dt
と置いて、方程式の簡単化を図りましょう。
dv/dt=-g-Av+Bv^2
∫dv/(-g-Av+Bv^2)=∫dt
B>0でしょうから、-g-Av+Bv^2=0は相異なる実数解をもちます。
したがって、
v=(exp(kt)の1次式)/( exp(kt)の1次式)
となります。
z=∫vdt
vは、u= exp(kt)と置けば、簡単に求められます。
ただし、-g-Av+Bv^2=0が実数解をもたないときは、vまでは求められても、vの積分が上手く求められないかも知れません。
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