微分方程式

d^2z/dt^2 = - g - A dz/dt + B (dz/dt)^2
の微分方程式を解きたいのですが、分からなくて困ってます。

p = dz/dt とおいてやってみたりといろいろと考えたのですが、どれもうまくいきませんでした。

どなたかよろしくお願い致します。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/07/15 00:35

ん? p = dz/dt とおけば簡単でしょ?

なにをどう「いろいろと考え」てどう「うまくいきませんでした」なのかさっぱりわからんけど.

No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/15 11:04

先ず、

v=dz/dt
と置いて、方程式の簡単化を図りましょう。
dv/dt=-g-Av+Bv^2
∫dv/(-g-Av+Bv^2)=∫dt
B>0でしょうから、-g-Av+Bv^2=0は相異なる実数解をもちます。
したがって、
v=(exp(kt)の1次式)/( exp(kt)の1次式)
となります。
z=∫vdt
vは、u= exp(kt)と置けば、簡単に求められます。

ただし、-g-Av+Bv^2=0が実数解をもたないときは、vまでは求められても、vの積分が上手く求められないかも知れません。

No.3 回答者： runix2007 回答日時： 2018/07/16 00:06

そうだね

No.4 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/16 10:17

続きです。

実際やると、そこそこ面倒です。

∫dv/(-g-Av+Bv^2)=∫dt
B>0でしょうから、Bv^2-Av -g =0は相異なるα,β(α<β)実数解をもちます。
∫dv/((v-α)(v-β))=∫Bdt
1/(β-α)∫( 1/(v-β)-1/(v-α))dv=∫Bdt
k=B/(β-α)とおきます。
log|(v-β)/(v-α)|=kt+C
(v-β)/(v-α)=C1exp(kt)
v=(αC1exp(kt) –β)/( C1exp(kt)-1)
z=∫vdt=∫(αC1exp(kt) –β)/( C1exp(kt)-1)dt
(u= C1exp(kt), du=kC1exp(kt)dt=k*udt)
=∫(αu-β)/(ku(u-1))du
= (1/k)∫(αu-β)/( u(u-1))du
=(1/k)∫(β/u+(α-β)/(u-1))du
=(1/k)(βlog|u|+(α-β) log|u-1|)+C2
=(1/k)(αlog|u|+(β-α) log(|u|/|u-1|))+C2
=(1/k)(αlog|C1exp(kt)|+(β-α) log(|C1exp(kt)/( C1exp(kt)-1)|))+C2
=(1/k)(αlog|C1|+αlog(exp(kt))+(β-α) log(|C1exp(kt)/( C1exp(kt)-1)|))+C2、
=αt+ (1/k)(αlog|C1|+(β-α) log(|C1exp(kt)/( C1exp(kt)-1)|))+C2
となります。

ここで、定常状態での様子を調べてみましょう。
k>0ですから、exp(kt)→∞ (t→∞)
したがって、
t→∞のとき、　z=αt+o(t)、 dz/dt=v=α+o(1)
v=α+o(1)は、下記微分方程式の右辺を略０にして矛盾しない事が分かります。
dv/dt=-g-Av+Bv^2
αは上記右辺の零点であること、およびα＜０に注意。