分ける方法が何通りあるかわからなくて困っています。

6人を3グループに分ける方法は何通りありますか？

【条件】
・どのグループにも最低でも1人いるものとする。

6人を分けるだけなら、6! = 6x5x4x3x2x1 = 720通りなのかなと思いましたが、上記の条件が加わった際、どうなるのかがわかりませんでした。
その為、ご存知の方がいらっしゃいましたら、ご教示いただければと思います。

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/15 14:50

まず、区別できるものとできない物を明確にしておきます。

・6人は人間なので区別します。(・・・このように取り扱う事例は問題集や参考書さらには模試、入試の問題で多数登場するのでしっかり押さえておいてください）
・グループには名前がついていないので人数が同じグループは区別しません。
例1-1-4人に分かれた場合
A-B-CDEFとB-A-CDEFは同一のものとして取扱う
これを踏まえて上で

解法1
1-1-4人に分かれた場合
前記の例のように4人のグループが決まれば残り2グループは自動的に決まるので6C4通り
1-2-3人に分かれる場合
1人と2人のグループが決まれば残りは自動的に決まるので
6C1x5C2通り
1-3-2,1-4-1は上と区別出来ない（区別しない）ので既に考えていることになる
2-1-3,2-3-1も上と区別出来ない
2-2-2となるのは6C2x4C2通り
この中にはAB-CD-EF、AB-EF-CD,CD-AB-EF,CD-EF-AB,EF-AB-CD,EF-CD-ABなど
3!=6通りずつの重複を含んでいるので
重複を解消すると6C2x4C2÷3!通り
3-1-2、3-2-1も上と区別できない
4-1-1も上と区別できない
よって合計6C4+6C1x5C2+6C2x4C2÷3!=6C2+6x10+5x3=15+60+15=90通りとなります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

回答内容を確認させていただき、この問題の解き方については理解することができたと思います。

このたびはどうもありがとうございました。

お礼日時：2018/08/15 15:14

No.6 回答者： fxq11011 回答日時： 2018/08/15 19:54

人数だけの問題なら

最低３人はA,B,Cで必要ですね（１人で１グループ）
残る３人の割り振り
ABCに１．１．１→各２・２・２になります
ABCのいずれかに１、残るどちらかに２→２・３・１になります
ABCのいずれかに３→１・１・４
＞どのグループにも最低でも1人いるものとする
この条件を理解しかねます、０人でもグループが存在し得ると言う前提ならわかりますが、０人のグループでは分けたになりませんね
１人でもグループとする・・・ならわかりますが、本当にこんな問題？。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

6人を3グループに分ける場合、下記が考えられると思います（漏れていたらすいません）。

1. 0, 0, 6（0人：0人：6人という意味です）
2. 0, 1, 5
3. 0, 2, 4
4. 0, 3, 3
5. 1, 1, 4
6. 1, 2, 3
7. 2, 2, 2

ただし、下記の条件のため、上記の1～4のパターンは計算する必要がないと思います。

【条件】
・どのグループにも最低でも1人いるものとする。

そのため、この問題は6人（人は区別する）を上記の5～7のパターンのグループ（グループは区別しない）で分けると何通りありますかということだと思います。

よろしくお願いします。

お礼日時：2018/08/15 21:25

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/15 15:05

no4つづき

解法２を載せるつもりでしたが大幅に面倒なのでやめます。

なお、（no3の人のような解釈をして）例えば統一規格のゴルフボール6個（区別できないボール６こ）を3グループに分ける方法は？と聞かれた場合は
1こ-1こ-4こ
1-2-3
2-2-2
の3通り
となりこれなら中学生でも分かりそうですね！

また、「6人を分けるだけなら、6! = 6x5x4x3x2x1 = 720通りなのかなと思いましたが」
については「6人を分ける」の意味が広いので何とも言えませんが、
6! = 6x5x4x3x2x1 = 720通りは6人の並べ方（順列）で分け方とは違うようですので、この点ももう一度良く確認しておいた方が良いと思いますよ！

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご指摘のようにどの問題に対しどの公式を使用すればよいか理解できておりません。
そのため、引き続き学習を進めてまいりたいと思います。

このたびはどうもありがとうございました。

お礼日時：2018/08/15 15:25

No.3 回答者： fxq11011 回答日時： 2018/08/15 11:29

人数だけの問題ですね（顔ぶれ不問）。

＞どのグループにも最低でも1人いるものとする
一人のグループもあり得る。
Aグループは１人から４人の４通り（最低２人は別グループに必要）
Bグループは４人から３人の２通り（４人のうち１人はｃグループに必要）
Cグループは２人から１人の１通り
８通り、人数だけの分け方なら以外に少ないのかな？。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

> 人数だけの問題ですね（顔ぶれ不問）。
どうも人は区別するようです。

ちなみに、区別しない場合は下記のような条件が記載されるようです。
【条件】
・同じ色の玉には区別はないものとする。

そのため、3グループを1人：1人：4人にした場合を例にすると、下記は1通りではなく、2通りになるようです（1は4人のところにC, D, E, Fさんがいるのに対し、2では4人のところにD, E, F, Aさんがおり、グループにいる人が異なるため）。
1. {A}{B}{C, D, E, F}
2. {B}{C}{D, E, F, A}

また、3グループを1人：1人：4人にした場合でも、下記は2通りではなく、1通りになるようです（名前のないグループは区別しないため）。
1. {A}{B}{C, D, E, F}
2. {B}{A}{C, D, E, F}
ちなみに、グループを区別する場合は、Aのグループ、Bのグループ、Cのグループのような記載があるようです

よろしくお願いします。

お礼日時：2018/08/15 21:07

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/08/15 10:01

3グループをＡグループ、Ｂグループ、Ｃグループとします。

Ａグループへ6人の入れ方は６通り
Ｂグループへのこりの5人の入れ方は５通り
Ｃグループへのこりの４人の入れ方は４通り
で６ｘ５ｘ４＝１２０通りですね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

なお、この問題ですが、No.4の90通りが正解のようです。
もっとも私自身、この問題にはNo.4のような解き方をするということは理解することができたと思いますが、No.4以外の解き方がわからないこともあり、何故、ご回答いただいた計算結果では駄目かというのはわかりません。

その上で私の推測ですが、
> Ａグループへ6人の入れ方は６通り
この場合、Aグループに6人全員いる可能性はありませんか？
もし1つのグループに6人全員がいるのであれば、条件の「どのグループにも最低でも1人いるものとする。」を満たせていないのかもしれません。

よろしくお願いします。

お礼日時：2018/08/15 20:43

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/14 23:59

やりかたはいろいろあると思うけど

・それぞれのグループの人数を決める
・その人数になるように選ぶ
のが素直かなぁ.