画像よりなぜ、g(f(x))の導関数がg'(f(x))f'(x)だとわかったのでしょうか？

画像よりなぜ、g(f(x))の導関数がg'(f(x))f'(x)だとわかったのでしょうか？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/25 00:51

No.2&3 です。

No.2 の「お礼」を見ずに、入れ違いで No.3 を書いていました。

＞あの、わがままいって申し訳のですが、微分の定義の極限を省略しない式を教えてください。

それは難しいです。いちいち極限をとると式がつながらなくなってしまうので。
No.3 に書いたような「感じ」で理解してください。その「感じ」は間違ってはいませんから。

この回答へのお礼

そうですか。
おかげさまで理解できました。
本当にありがとうございます。

お礼日時：2018/08/25 02:31

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/25 00:37

No.2です。

「微分のココロ」が分かってしまうと、
　dy/dx
は「最後に極限をとればよい」として「微小の dy と微小の dx の割り算」と考えると
No.2 に書いた

　dz/dx = (dz/dy)(dy/dx)　　　　①

は「当たり前」の分数計算ということになります。
最終的に dx→0, dy→0 の極限をとれば、①は「微分の式」になります。

質問者さんが書いている
「g(f(x))の導関数がg'(f(x))f'(x)」
は
・g(f(x))の導関数 ： g(f(x)) = z を x で微分したもの、つまり f(x)=y と書けば dg(y)/dx
・g'(f(x)) ： g(f(x)) を f(x) で微分したもの、変数を書き換えれば g(y) を y で微分したもの
・f'(x)　： f(x) を x で微分したもの
ということですから、①ということです。「何で微分するか」というところに注意してくださいね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/24 23:32

No.1です。

他の質問を見ると、g( f(x) ) という書き方が理解できずに混乱しているようですね。

だったら、
　y = f(x)
で「y」を使えばよいです。

上の文章は、最終的に d(g(x))/dx を求めるものです。

x → x + dx に変化したとき
　y=f(x) → y + dy = f(x + dx) 　　　　①
になり、
y → y + dy に変化したとき
　z=g(y) → z + dz = g(y + dy) 　　　　②
になったとします。

①より
　f(x + dx) - f(x) = dy　　　　　③
一方、「微分の定義」で「極限」を省略すれば
　[ f(x + dx) - f(x) ] / dx = dy/dx
→　f(x + dx) - f(x) = (dy/dx)dx
ここで
　f(x + dx) - f(x) = dy
なので、③は
　dy = (dy/dx)dx　　　　　　　④

同様に、②より
　g(y + dy) - g(y) = dz　　　　　⑤
一方、「微分の定義」で「極限」を省略すれば
　[ g(y + dy) - g(y) ] / dy = dg/dy
→　g(y + dy) - g(y) = (dg/dy)dy
ここで
　g(y + dy) - g(y) = dz
なので、⑤は
　dz = (dg/dy)dy　　　　　　　⑥

④⑥より
　dz = (dg/dy)(dy/dx)dx

dx で割って
　dz/dx = (dg/dy)(dy/dx)

これは
　dz/dx = dg(y)/dx
だし
　dg/dy = dg(y)/dy = g'(y)
　dy/dx = df(x)/dx = f'(x)
ですから

dg(y)/dx = g'(y)f'(x)

ですよ？

質問者さんは「微分のココロ」つまり「どの関数を、どの辺数で微分するか」という「関数」と「変数」の関係をきちんと整理できていないのが「？？？」となる原因かと思います。
何が変数で、それが「少し変化」したときに、本体の関数が「どの程度変化するか」をきちんと整理してみてください。

この回答へのお礼

おかげで飲み込みの悪い私でも理解できてきました。
あの、わがままいって申し訳のですが、微分の定義の極限を省略しない式を教えてください。

お礼日時：2018/08/25 00:16

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/24 22:52

何が分からなくて、同じ質問を何度も繰り返しているのですか？

少しは自分自身でトレースしてみたのですか？
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10681198.html

下から２行目の式で、移項して dx で割れば答が出ますよ。

前の質問のリンク先に、その著者（おそらく前野昌弘先生でしょう）も書いているように

＞このあたり（次の合成関数の微分も）の話は、微分というものの意味がわかっていれば、ある意味「あたりまえ」の式である。ここの話を聞いてすぐに納得できない、という人は、まだ「微分のこころ」がわかってない可能性があるので、「そもそも微分とは何か？」というところから考えなおして欲しい。