こちらのサイト http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/size

こちらのサイト
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/sizensuuga …
は図形を用いて合成関数の公式を解いたのですが、どうやって導いたのか不明な点があります。
画像の部分は不明な点の式です。
そこで質問があります。
画像の式に関してはどのように式を図形にして展開していったのかわかりません。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/24 09:44

No.2です。

「お礼」を見ました。

＞g(f(x+dx))=g(f(x)+df(x))において、なぜ、f(x+dx)自体を微分するのかの理由を知りたいです。

う～ん、やっぱり意味が割りません。「f(x+dx)自体」なんて微分していないし・・・。

g(f(x+dx)) というのは、x → x + dx の変化に対する g(x) の変化を求めたいのですが、直接求めることができない（あるいはめんどう）なので、途中経過としていったん
　x → x + dx の変化に対する f(x) の変化：f(x + dx) = f(x) + df(x)
を求めてから、
　f(x) → f(x) + df(x) の変化に対する g(x) の変化
を求める、というやりかたです。

つまり、微分の定義に戻って（ただし「極限」は省略）、まず
　[ f(x + dx) - f(x) ]/dx = f'(x)
→　f(x + dx) - f(x) = f'(x)dx = df(x)　　　　①
を求めてから、
　[ g( f(x) + df(x) ) - g( f(x) ) ] / df(x) = g'( f(x) ) 　　　②　←g'( f(x) ) は、「ｘで微分」ではなく「f(x) で微分」です
を求めます。

①が「x → x + dx の変化に対する f(x) の変化」
②が「f(x) → f(x) + df(x) の変化に対する g(x) の変化」
ということです。

②で分母を払えば
　g( f(x) + df(x) ) - g( f(x) ) = g'( f(x) ) df(x)　
①で f'(x)dx = df(x) とおいたので、これを戻して
　g( f(x) + df(x) ) - g( f(x) ) = g'( f(x) ) f'(x)dx
両辺を dx で割って
　[ g( f(x) + df(x) ) - g( f(x) ) ]/dx = g'( f(x) ) f'(x)

ここで、左辺は「dx に対する g(x) の変化」になっていますよね。
途中に「x → x + dx の変化に対する f(x) の変化」を介しているので、「f(x) の微分」が出て来るのです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/24 00:47

No.1です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞一つ質問があります。
＞g(f(x+dx))=g(f(x)+df(x))に関してなのですが、なぜy自体を微分するのでしょうか？

ちょっと質問の意味がわかりません。
もう少し具体的に書いていただけますか？

少なくとも、リンク先の説明はそういった疑問を解説するためのサイトですから、そのサイトに書いてあることを質問してくること自体、本末転倒ではあるのですが。
書かれているのは、おそらく前野昌弘先生ですよね？

この回答へのお礼

わかりにくくてすいません。
g(f(x+dx))=g(f(x)+df(x))において、なぜ、f(x+dx)自体を微分するのかの理由を知りたいです。

お礼日時：2018/08/24 01:10

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/23 23:31

一番上の式ですか？

微分の定義は
　[ f(x + h) - f(x) ]/h
で h→0 にしたときの極限ですよね？

面倒なので h を「極めて小さい極限」という意味にして
　[ f(x + h) - f(x) ]/h = f'(x)　　　　①
と書けば、両辺に h をかけて
　f(x + h) - f(x) = hf'(x)
移項して
　f(x + h) = f(x) + hf'(x)　　　　　②

h は「極めて小さい極限」なので、これを h=dx と書けば
　f(x + dx) = f(x) + f'(x)dx　　　　③

こんなのではダメですか？


2つ目の式は、g(y) に単純に③の
　y = f(x + dx) = f(x) + f'(x)dx
を代入したものです。

③の式は
　f(x + Δx) = f(x) + Δf(x)
という書き方ができます。つまり、x が Δx だけ変化したことにより、f(x) が Δf(x) だけ変化したということです。
ここで、Δx = dx, Δf(x) = df(x) という書き方をすれば
　f(x + dx) = f(x) + df(x)　　　　④
となります。

従って、2つ目の式の左辺は
　g( f(x + dx) ) = g( f(x) + df(x) )　　　　⑤
となります。この右辺は③式とみなせば
　g( f(x) + df(x) ) = g(f(x)) + g'(f(x))df(x)　　　⑥
と書けます。

⑤の左辺と⑥で、df(x) = f'(x)dx だったので
　g( f(x + dx) ) = g(f(x)) + g'(f(x))f'(x)dx

画像に示されているのはここまでですね。
ここまでのどこが分からないのですか？

この回答へのお礼

わかりやすい解説どうもありがとうございます。
一つ質問があります。
g(f(x+dx))=g(f(x)+df(x))に関してなのですが、なぜy自体を微分するのでしょうか？
合成関数の微分ではy自体も微分して指数を前に持って来ますが、なぜ、そのようなことをするのかわかりません。
もちろん、都合よく答えと一致させる為と言われればそうとしか言えないのですが。
どうかよろしくお願いします。

お礼日時：2018/08/24 00:31