質問です。半径aの球について、(a)球座標系の面積積分から表面積を、(b)体積積分を用いて球の体積を

質問です。半径aの球について、(a)球座標系の面積積分から表面積を、(b)体積積分を用いて球の体積を、それぞれ求めなさい。
お願いします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/16 11:45

No.1です。

(a) は「球面上の四角形」ではなく、「円環の帯」で説明していものが多いようですね。そちらの方が分かりやすいかも。でも、考え方は同じです。
↓　たとえば
https://schoolhmath.blogspot.com/2017/06/blog-po …
https://mathtrain.jp/ballsv

「多角形」の辺の数を増やしていった極限が「円」、「多面体」の面数を増やしていった極限が球、という考え方で、その「１面分」の面積をどう表わせばよいのかという問題です。その「１面分」を「球面上の四角形」とするか「円環の帯」とするかなど、いろいろな考え方でやってみるのがよいと思います。
「考え方」まで理解することが大事です。

いずれにせよ「積分のよい練習問題」なので、自分でやってみることが大事です。
「見て分かったつもりになる」というのは、実は「分かっていない」ことだったりするので。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/15 23:19

(a) 球座標系で、中心角 dθ, dφ に対応する球表面の「微小な球面」を考えれば、この球面は「長方形」で近似できて、長方形の「横幅」は r*dθ*cosφ、高さは r*dφ ですから、その面積は

　　dS = r*dθ*cosφ * r*dφ = r^2 *cosφ*dθ*dφ
これを θ：0～2パイ、φ：-パイ～パイ で積分すれば全体の表面積が求まります。

(b) 上記の「微小な球面」に「微小な厚さ：dr」をかければ、球の「微小な立体」の体積になります。つまり
　　dV = dS*dr = r^2 *cosφ*dr*dθ*dφ
これを a：0～a, θ：0～2パイ、φ：-パイ～パイ で積分すれば全体の体積が求まります。