数1の教科書や、大学の解析の教科書の不等式の性質の所や実数の所で、実数ABCに対してA<B ならばA

数1の教科書や、大学の解析の教科書の不等式の性質の所や実数の所で、実数ABCに対してA<B ならばA+C<B+Cとあるのをみて、A+C<B+CならばA<Bも成り立つと思ったのですが、なぜ書かれてないのでしょうか？(ウェブ上で公開されている大学の講義プリントを見てもこの記述でした)

質問者からの補足コメント

• kairouさんのおっしゃる通り必要十分条件についてです 付け加えさせていただくと，a<=bと-a>=-bとは同値であるという命題と質問で挙げた命題の両方があったので，質問で挙げた命題も〜と〜は同値と書けば良いのではと思ったのです

    補足日時：2018/09/20 23:46

No.4 ベストアンサー 回答者： lasato 回答日時： 2018/09/22 09:27

私の教科書では、これは順序と四則を結ぶ法則であるという立場をとっています

ルールはなるべく余分なものを切り落として単純にした方が良いという美学から、(ならばの)矢印は片方だけなのだと思います！
下の方々が言っているように、片方を認めればもう片方は示せるのでわざわざ法則として書く必要がないということです！

No.3 回答者： ko-papa 回答日時： 2018/09/20 13:50

「A<B ならばA+C<B+C」から「A+C<B+CならばA<B」が明らかに言えるので、わざわざ言わないだけです。

というか「A<B ならばA+C<B+C」と「A+C<B+CならばA<B」は、前者、A→A+C、B→B+C、C→-C、と置き換えれば全く同じ式です。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/09/20 11:18

ひょっとして、あなたは「必要条件」・「十分条件」の事を聞いてますか。

（実数ABCに対して）「A<B ならばA+C<B+C」は、必要十分条件ですから、
わざわざ 逆を説明する必要はないですね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/20 09:04

だって、

　X = A + C
　Y = B + C
とおけば
　A = X + (-C)
　B = Y + (-C)
なので、-C = Z とかけば

　X < Y ならば X + Z < Y + Z

ということで、これを元に戻して書けば

　A + C < B + C　ならば　A < B

ということです。

つまり

「A<B ならば A+C<B+C」

で既に言い尽くされているのです。

自明の同じことを、わざわざ言い替えて言う必要がないからです。