教科書に載っていない公式

Question

微積の問題を解いてるとき友達に「放物線とその放物線の異なる２接線とが囲む面積は

『１／１２（β－α）』

で求められるんだよ。」と教わりました。ですがこのような公式は教科書には載ってなく、友達も参考書に載っていたと言ってました。このように高校の教科書に載っていないような隠れた（？）公式なんかは他にもあるのでしょうか？

sakura_214 · Accepted Answer

質問者がいう「放物線とその放物線の異なる２接線とが囲む面積」---(1)は，#1さんらが意図する「放物線と直線とが囲む面積」---(2)とは違いますが，両者の間には2：1になるという関係があります．(2)については#1さんらやおそらく教科書等にも書いているとおり，
(|a|/6)*(β-α)^3 (aは放物線の2次の係数）
となりますので，(1)は
(|a|/12)*(β-α)^3
となります．

(1)と(2)が2：1となるという事実，すなわち(1)+(2)の三角形と(2)が3：1となる事実は，微積分が確立されるよりもはるか昔の紀元前にアルキメデスが巧みな方法で導出した歴史的な経緯があります．（微積分などなかった当時，特殊な例であるが曲線で囲まれた面積が求めれらた一例）

> 高校の教科書に載っていないような隠れた（？）公式なんかは他にもあるのでしょうか？

ガイドブックに載っていないような隠れた名店・名湯というわけではありませんが，他の回答者が例を挙げているとおり，たしかに教科書に載せていないような便利な命題や関係式が，参考書や問題集に書かれていることがあります．知っておいたほうがいいものから，どうでもいいものまでありますが，たとえ有名な関係式でも，その命題そのものやそれに近いものを問いている問題で，公式より成立，というわけにはいかないので，その辺は臨機応変に使い分けが必要です．「へぇ～そんな式もあるのか」という感じで，むしろ#5さんが指摘するように一度自分で導出して確かめた上で（←重要），便利ならば使う程度でいいと思います．

今回の質問にある関係式も，それほど難しいものではないので１つの練習問題として実際に手を動かしてみて（もちろんアルキメデスが当時やった方法ではなく，ふつうに微積分で！）確かめてみることを勧めます．

kony0 · Answer

すみません、#6さんのおっしゃるとおり、違うものを求めておりました。#6さんのとおり、2:1の関係もありましたね。

#5さんのものをもう少し一般化して、
∫[a→b](x-a)^m*(x-b)^n dx
=(-1)^n*m!n!/(m+n+1)! (b-a)^(m+n+1)
になるんじゃないかなぁ。（係数とか自信無し）あまり一般化してもしょうがないですが。
ちなみにこの式は「ベータ関数」を考えればけっこうすぐ導けそう。（ベータ関数、ガンマ関数くらいなら、高校程度の知識で理解が追いつくと思う（たかだか部分積分）ので、お暇なら挑戦してみては？）

メネラウス・チェバは、高校の教科書で平面幾何あれば載っているんじゃないかなぁ。ただし、これを「ベクトル」の分野で適用すればセンター試験のような穴埋め問題が一発で解ける！とかは、あまり話題に上らないかも。

ちなみに私は大学受験のとき、図形の知識はまったくなく、角の二等分線と比の関係（△ABCの角Aの２等分線とBCの交点をDとすると、BD:DC=AB:AC）すら知りませんでした。^^;

sagittarius-t · Answer

教科書に載っていない公式はたくさんあります。
実際、僕のクラスでは県が指定している教科書の中で一番レベルの高い数学の教科書を使用しているみたいですが（教科担任によると）（県内の進学校ならこの教科書を使っているみたいです）、知らない公式はいっぱいあります。（要するにいくらレベルの高い教科書であっても全然カバーし切れていないということです）
チャート式数学（黄色・青色など）で“重要例題”として載っているはずですよ。（手元に無いので自信ありませんが）黄チャートにあったはずですが・・・。数学の先生はこれを自主的にやっていくことをかなり勧めていますが、僕はあまりやってないです。やらなくてはいけないのですが、、、（＞＜）
機会があったら見てみるといいと思います。
こんなの授業でやってないじゃんって思えてくるかもしれませんが。。

一応、数研出版のチャートシリーズの紹介ページのURLを付けておきました（＾＾）

参考URL：http://www.suken.co.jp/goods/goodsf.html

syu2000 · Answer

隠れた公式ありますよ。結構。
例えば・・・
β>αとして、
∫{(x-α)^2(x-β)}dx=-1/12(β-α)^4

∫{(x-α)(x-β)^2}dx=1/12(β-α)^4

∫{(x-α)^2(x-β)^2}dx=1/30(β-α)^5

上の三つなんか載ってなかったと思いますよ。
塾の先生が言ってたのですが、自分で確かめたことがないので自信がありません。使うんなら一度確かめをしてから使ってくださいね(^_^;)

kyanaumi · Answer

隠れた公式はいっぱいあります。
計算を楽にするために存在するものであって、覚えとかなきゃ問題は解けないってはありません。
だから、教科書に”公式”と乗ってるやつは全部証明できるんで不思議に思ったら一度証明しとくといいですよ。難しい大学を受験するなら公式の意味をわからず覚えてたりすると痛い目にあいます。センター試験だってそうです。
私は高校時代のとき良く公式を作った記憶があります。
んで、一番のお勧めが下の人が言ってるチェバとメネラウスノ定理の合体バージョンです。この公式のうれしいところは、4っの辺がわかれば後は自動的にもとまってしまいます。
・・・・・って説明したいんだが、図を描かないと説明しにくいので省略させてください。
意味なかったね。ごめんなさい。

noname#6715 · Answer

「隠れた（？）公式」なんてものはひとつもありません
全て導き出せるものです。
それに1/12(β-α)じゃなく
1/6(β-α)^3じゃないですか？(x^2の係数が1の時)

ほぼ#1さんの言っている内容と同じですが
y=kx^2+mx+nの放物線と
y=px+qという直線があるとき、
交点を求めるために普通連立方程式を立てますね。
kx^2+mx+n=px+q
kx^2+(m-p)x+n=0
これが二つの実数解α,β(α<β)を持つ時
この方程式は
k(x-α)(x-β)=0になる
ここでこの面積は
∫|k(x-α)(x-β)|dxである

面倒くさいのでk>0のときに限定するとこの面積は
-∫{k(x-α)(x-α+α-β)}dx
=-∫{k(-α)^2+k(x-α)(α-β)}dx
=-{[k/3(x-α)^3]+[k(α-β)/2・(x-α)^2]}
=-k/3(β-α)^3-k(α-β)/2・(β-α)^2
=(-k/3+k/2}(β-α)^3
=(k/6)(β-α)^3

ね？出たでしょ？
公式でもなんでもない

というわけで宿題。
#2さんの言う「チェバの定理」「メネラウスの定理」を
どんな定理か自分で調べて証明しなさい。

eliteyoshi · Answer

微積分ではないですが、ベクトルや図形の問題で使える「チェバの定理」、「メネラウスの定理」という公式があります。
うろ覚えですが、この公式は確か教科書には載っていなかったと思います。しかし数Bの参考書には必ず載っています。
とても便利で受験生の時には主にベクトルの図形問題で威力を発揮しました。

kony0 · Answer

その公式、本当にあってます？

私の感覚では、放物線の式の2次の係数をkとして、
(|k|/6)(b-a)^3
なのですが・・・（係数の分母が6か12かはいまいち自信なし）

この問題に限れば
∫[a→b]|k|(x-a)(x-b)dx
を解くだけですよね？

必要な公式は、自分で作るようにすれば良いと思われます。人に聞くもんじゃない。

教科書に載っていない公式

すみません、#6さんのおっしゃるとおり、違うものを求めておりました。

教科書に載っていない公式はたくさんあります。

隠れた公式ありますよ。

隠れた公式はいっぱいあります。

「隠れた（？）公式」なんてものはひとつもありません

微積分ではないですが、ベクトルや図形の問題で使える「チェバの定理」、「メネラウスの定理」という公式があります。

その公式、本当にあってます？

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