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底辺が半径1の円で、頂辺が長さ2の立方体の体積を求める一般式はないですよね。
このような場合、任意の高さでその立方体の断面積を求めて高さ0から1まで積分して体積を求めます。任意の高さkでこの立方体の断面は図のようになっています。頂辺に対して垂直方向より長辺のL方向から見ると底辺が2、高さ1の二等辺三角形です。たかさkでの三角形は、相似の関係を利用して、底辺は、(1-k):1=x:2から底辺は2(1-k)です。その高さは1-k。
半径1の円は、高さkでは半径(1-k)の円になります。kの高さの立方体の断面は両端が半径(1ーk)の半円で、L方向の長さは常に2なので、両端の半円の間に一辺が
2(1-k)と2-2(1-k)=2kの長方形ができます。
これらの面積がkの高さでその立方体の断面積になります。
よって、断面積は2k*2(1-k)+Π(1-k)²となるわけです。
これをk=0から1まで積分すると目的の立方体の体積になります。
∫(2k*2(1-k)+Π(1-k)²)dk(k=0から1まで)
=4(1/2k²-1/3k³)ーΠ/3(1-k)³(k=0から1まで)
=2/3+Π/3
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