Σ[1~∞]1/(n²+1)=(1/2)[{(e^π+e^π)/(e^π-e^π)}・π-1]を示し

Σ[1~∞]1/(n²+1)=(1/2)[{(e^π+e^π)/(e^π-e^π)}・π-1]を示して下さい。

質問者からの補足コメント

• Σ[1~∞]1/(n²+1)=(1/2)[{(e^π+e^-π)/(e^π-e^-π)}・π-1]でした

    補足日時：2018/10/01 23:49

No.2 回答者： Beshta 回答日時： 2018/10/06 10:16

フーリエ変換を用いると楽ですよ。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2018/10/02 00:42

cothz=1/z+2z*Σ[n=1～∞]{1/(z²+(nπ)²}を既知とすれば・・、

z=πとすれば
cothπ=1/π+2πΣ[n=1～∞]{1/(π²+(nπ)²}
=1/π+(2π/π²)*Σ[n=1～∞]{1/(1+n²)}
=1/π+(2/π)*Σ[n=1～∞]{1/(1+n²)}
・・から
Σ[n=1～∞]{1/(1+n²)}=-1/2+(π/2)*cothπ
=-1/2+(π/2)*{(e^π+e^(-π))/(e^π-e^(-π)}