数aの問題です。180の全ての約数の積を求めよ。ただし因数分解した形で。答え、2の12乗×3の18乗

数aの問題です。180の全ての約数の積を求めよ。ただし因数分解した形で。答え、2の12乗×3の18乗。これの解き方が分かりません！

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/14 11:08

180=2²x3²x5より

180の約数は
1,2,3,・・・60,90,180・・・・①ですよね

2^a・3^b・5^cとすると
a=0,1,2
b=0,1,2
c=0,1
の組み合わせで180の約数をすべて作り出すことができますから
（例：a=0,b=0,c=0とすれば　180の約数の1つ１になり、a=1 b=2 c=0とすれば、別の約数１８ができます）
a,b,cの数値の決め方の総数
3C1x3C1x2C1=18 と同じだけ
180の約数が存在することになります。
すなわち①は全部で18個

また、（１８０の）約数は両端から順にペアにしていくと
1x180=180
2x90=180
3x60=180
・
・
・
というように
その積が１８０になると言う性質があるので
18この約数をペアにして
9組の180の組ができることになります

従って求めるべき積は
180⁹=(2²x3²x5)⁹=2¹⁸x3¹⁸x5⁹
ただ、質問者さんの答えと違ってしまいました！どこか間違えたかなぁ

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/10/14 15:09

＞180の全ての約数の積を求めよ。

・・・答え、2の12乗×3の18乗。

問題文がおかしくないですか。
180 の約数の中には、明らかに 5, 10, 15,・・・ がありますね。
「2の12乗×3の18乗」の中からは それらの因子は出てきませんが。
又、180=2²x3²x5 ですから 答えの 2 と 3 のべき数は同じになりませんか。
そして 5 のべき数は その半分。
NO1 さんの回答が正しいと思いますよ。