曲線の束について質問です ｢mf(x,y)+ng(x,y)=0･･･(＊)の表す図形は、m、nの値に

曲線の束について質問です
｢mf(x,y)+ng(x,y)=0･･･(＊)の表す図形は、m、nの値に関わらず、常にその共有点のすべてを通る｣という定理で、
(＊)の表す図形はm,nの値に関わらずという表現がありますが、これはm=0かつn=0つまり(m,n)=(0,0)の時も含めているのでしょうか？確かにこの時0･f(x,y)+0･g(x,y)=0となり符号としては成立しますがこれって図形として認めていいのか分からないです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/10/14 23:16

図形として認めるとなにが困るんだろうか.

No.2 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/10/14 15:54

z=mf(x,y)+ng(x,y)

と、z軸をとってzがxとyの関数であると考えて、x-y-z座標空間にグラフをかこうと思ったら、
mf(x,y)+ng(x,y)=0のとき
z=0という平面を表すことになりますよ。
この平面は当然f(x,y)とg(x,y)の交点を通ります。

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/10/14 15:27

一般の図形として認めるかと聞かれればNOです。

しかしこの定理を論じる範囲ではYES
です。この範囲では、どちらに定義しても構いません。しかし、NOと決めると、m=0かつn=0を除くという文を付け加える必要が生じます。それを付けた方が、初心者にはわかりやすいメリットがあるが、ほかに大してメリットがないと思います。こういう事にこだわるとキリがなくなります。例えば「二つの図形の合併は一つの新しい図形を定義する。これを繰り返しても同じ。」という定理に、ただし無限回の合併を除くというただし書きが必要かどうかとか、程度の低い議論を延々と続けることができるネタはいくらでもある。そこで論理的に間違っていなければ、大目に見て下さい。