明日の朝までに！数学が得意な方、式と答えをお願いします。 図のような正方形ABCDがある。動点 Xは

明日の朝までに！数学が得意な方、式と答えをお願いします。
図のような正方形ABCDがある。動点 XはOを出発し、それぞれ 1/4の確率で隣合う4つの点のいずれかへ線
分上を移動する。以下、出発して3秒後を考える。
(1) XがPにある移動のしかたは何通りか。また、Qにあるときは何通りか。
(2) XがAにある確率、辺AB上(両端を含む)にある確率、正方形ABCDの周上にある確率を求めよ。
(3) XがQを通ったことが分かっているとき、Xが正方形ABCDの周上にある条件付き確率を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： Beshta 回答日時： 2018/10/15 02:10

点Oを原点、点Aを(-3,0)として、斜線格子を45°反時計回りに回転させる事で直交座標平面で考える。

(1)P(-2,-1)に3秒後にいれば良いから、←←↓を並べ替えた場合の数を数えればよく、3!/(2!×1!)=3 (通り)
Q(-1,0)にあるためには、
←(←→、↓↑の並べ替え)の並べ替え
の場合の数を求め、
3!/(2!1!)+3!=3+6=9 (通り)

(2)点Aへ3秒で行く方法は、3回連続で左へ進み続ける一通りだから、求める確率は、(1/4)^3=1/64

点Aと点B、点Pと点(-1,-2)へ至る確率は同じ。従って、辺AB上へ行く確率は、2(1/64+(点Pに行く確率))
である。(1)より、点Pへ行く方法が3通りあるため、求める確率は
2(1/64+3(1/4)^3)=1/8
である。
辺ABの点Aと点B以外の点に行き着く確率は、1/8-1/64-1/64=3/32である。よって求める確率は、
3/32×4+1/64×4=7/16

(3)Qへ至る場合の数は9通りだから、
点Qへ行き着く確率P(Q)は9/4^3
である。正方形ABCDの周上へ至る確率をP(ABCD)とすると、求める確率はP_Q(ABCD)=P(QかつABCD)/P(Q)
=4^3×P(QかつABCD)/9
と書ける。点Qへ行くには1秒か3秒かかる。つまり、P(QかつABCD)
は点Qへ1秒で行き、その後正方形の周上に2秒で行く確率である(これくらいの数だと書き出して数えた方がいい)。よって、
P(QかつABCD)=7×(1/4)^3
=7/4^3
である。よって、
P_Q(QかつABCD)=4^3/9×7/4^3
=7/9

No.2 回答者： Beshta 回答日時： 2018/10/15 10:57

(3)訂正です。

3秒後に点Qに行き着く確率ではなく、3秒後までに少なくとも一回点Qを通る確率を求めるべきでした。それは(3秒後に丁度点Qに至る確率)+(1秒後に点Qを通り、どこかへ行く確率)でしょう。前者は9/4^3
でした。では後者の場合の数は、
←(←→↑↓から重複アリで二つ選び並べ換える)
の順列の総数だから、
4P2+4C1=12+4=16 (通り)
で、従って16×(1/4)^3
従って、点Qを少なくとも一回通る確率は9/4^3+16/4^3=25/64
である。従って求める確率は、
7/4^3×64/25=7/25