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ある商品の定価を150円とすると1日あたり500個販売できる。この商品は定価を10円値上げするごとに1日あたり20個ずつ販売量が減少する。売上高を最大にするには定価をいくらにすればいいか。

という問題なのですが、ある商品を10x円値上げした時の売上高をy円として、
y=(150+10x)(500-20x)という式を考えました。
売上高を最大にするということは↑の最大値が答えになりますよね?
何回解いても答えの200円にならないのですが…。
式自体が間違っているのでしょうか?
それとも計算ミスなのでしょうか?

A 回答 (4件)

(150+10x)(500-20x)を展開すると



-200x^2+2000x+75000

になります。
これは上に凸なので微分して0になる点が最大となります。

-400x+2000=0

求めるxは5ですよね。定価の150円に10×5=50を足して200円になるのでは?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!!
あの・・・徴分ってなんですか?

お礼日時:2004/11/09 23:29

#1です。



微分まだでしたか。勇み足でした、すみません。

では#2,3の方のように平方完成しましょう。

(150+10x)(500-20x)=-200(x-5)^2+80000

より、x=5のとき売上高が最大になります。
後はさっきと同じです。
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計算ミスではないでしょうか。


右辺を展開して平方完成すると,x=5のときにyは最大になるので,答えは200円で合っています。
(実は私も最初,x=-20で最大?という妙な答えになってしまい,よく見たら展開の時に符号を間違えていただけでした)
もう一度確かめてみて下さい。
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式はあってますね。

計算がちがうのでしょう。
y=(150+10x)(500-20x)
 =-200x^2+2000x+75000
 =-200(x^2-10x-375)
 =-200((x-5)^2-400)
となるから x=5 のとき y が最小になる。
そのときの定価は
150+10x=200
ですね
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