物理の単振動の問題です 解答お願いできますか？

物理の単振動の問題です
解答お願いできますか？

質問者からの補足コメント

• 解答ありがとうございます
  
  力はすべてx軸方向で考えて運動方程式も立てれば良いのでしょうか？

    補足日時：2018/10/30 20:47

• 変異がxのときのばねの伸びは
  
  l-√(d^2+x^2)
  
  と考えればよいのでしょうか？

    補足日時：2018/10/31 13:09

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/01 14:39

No.1&2 です。

まだ解決しませんか？

Ⅰ(1)　#2 に書いたように
　ばねの伸び ΔL = √(d^2 + x^2) - L
　ばねの復元力（ばねの長さ方向）Fb = -k[ √(d^2 + x^2) - L ]
よって、ばねの復元力の x 方向成分は、∠PAO = θ として、sinθ = x/√(d^2 + x^2) なので
　Fx = Fb*sinθ = -k[ √(d^2 + x^2) - L ]sinθ
　　= -kx[ 1 - L/√(d^2 + x^2) ]

(2) ばねの弾性エネルギーは、
　U = (1/2)k(ΔL)^2 = (1/2)k[ √(d^2 + x^2) - L ]^2

Ⅱ．ここでは、#2 に書いたように、∠PAO = θ として
　x = d * tanθ　　　　　　①
　ばねの長さ = d/cosθ
ですから、
　ばねの伸び ΔL = √(d^2 + x^2) - L = d/cosθ - L
　ばねの復元力（ばねの長さ方向）Fb = -k*(d/cosθ - L)
よって、ばねの復元力の x 方向成分は
　Fx = Fb*sinθ = -k*(d*tanθ - L*sinθ)

θ が微小角であれば、①は
　　x = d*θ
復元力の x 方向の成分は
　　Fx = -k * (d - L)θ
と近似でき、運動方程式は
　　ma = -k * (d - L)θ

高校物理では、単振動の公式
　　a = -ω^2 * x
を使うと思うので
　　-m * ω^2 * d*θ = -k * (d - L)θ
より
　　ω = √[ k*(d - L)/(m*d) ] = √[ (k/m)*(1 - L/d) ]
かな？
従って、単振動の周期は
　　T = 2パイ/ω = 2パイ/√[ (k/m)*(1 - L/d) ]

Ⅲ(1) ばねが自然長でつり合う位置が
　L = √[ d^2 + (x0)^2 ]　　　　　　②
なので、
　L^2 = d^2 + (x0)^2
→　(x0)^2 = L^2 - d^2
よって
　x0 = ±√(L^2 - d^2)　　　　　③

(2) ばねの長さは √(d^2 + x^2) であり、自然長からの「ばねの伸び（または縮み）」は、②を使って
　|ΔL| = |√(d^2 + x^2) - L| = |√(d^2 + x^2) - √[ d^2 + (x0)^2 ] |
よって、ばねの弾性エネルギーは
　U = (1/2)k|ΔL|^2 = (1/2)k{ √(d^2 + x^2) - √[ d^2 + (x0)^2 ] }^2　　　　　④
これはちょっと複雑で、このままグラフを書けと言われても難しいですが、
　x >> d, x0 >> d
とすれば
　U ≒ (1/2)k(x - x0)^2　　　　⑤
になりますから、だいたいこんな概形でよいのではないでしょうか。
④も⑤も x=x0 で U=0 になります。
また、x=0 のときは、④と③から
　U = (1/2)k(L - d)^2　　　　　⑥
このぐらいのポイントをおさえておけばよいでしょう。

(3) 上の⑥の位置エネルギーが、x=x0 では位置エネルギーがゼロですべて運動エネルギーになるので
　　(1/2)k(L - d)^2 = (1/2)mv^2
よって
　　v^2 = (k/m)(L - d)^2
L > d なので
→　v = (L - d)√(k/m)

最大到達点 xm は、④式から
　 (1/2)k{ √[ d^2 + (xm)^2 ] - L }^2 = (1/2)k(L - d)^2
→　√[ d^2 + (xm)^2 ] - L = L - d
→　√[ d^2 + (xm)^2 ] = 2L - d
→　d^2 + (xm)^2 = 4L^2 - 4dL + d^2
→　(xm)^2 = 4L^2 - 4dL
→　xm = 2√(L^2 - dL)

(4) x=x0 のときの∠PAO = θ0 として、図を描けばわかるように
　ばねの伸び ΔL ≒ x*sin(θ0)
　ばねの復元力（ばねの長さ方向）Fb = -kΔL = -k*x*sin(θ0)
よって、ばねの復元力の x 方向成分は
　Fx = Fb*sin(θ0) = -k*x*sin^2(θ0)

運動方程式は
　ma = -k*x*sin^2(θ0)
単振動の公式
　　a = -ω^2 * x
を使って
　　-m * ω^2 * x = -k*x*sin^2(θ0)
より
　　ω^2 = (k/m)*sin^2(θ0)
→　ω = √(k/m)*sin(θ0)
ここで
　　sin(θ0) = x0/L
なので
　　ω = (x0/L)√(k/m)
周期は
　　T = 2パイ/ω = 2パイ(L/x0)√(m/k)

考え違い、計算間違いがあるかもしれませんが。

この回答へのお礼

遅くなりました。難しいですね…
簡単なんですよね…

精進します。
ありがとうございました。

お礼日時：2018/11/04 17:27

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/01 01:10

No.1です。

「補足」に書かれたことについて。

＞力はすべてx軸方向で考えて運動方程式も立てれば良いのでしょうか？

そうです。x方向の運動だけを問題にしているので。

＞変異がxのときのばねの伸びは
＞l-√(d^2+x^2)
＞と考えればよいのでしょうか？

なんでそうなりますか？

L < d なら、ばねは常に「伸び」方向であり、「伸び」は
　√(d^2 + x^2) - L
でしょう。「自然長 L からの伸び」なのですから。

d < L のときは、ちょっと厄介ですよ。
√(d^2 + x^2) < L のときは「縮み」で、
√(d^2 + x^2) > L のときは「伸び」です。
√(d^2+x^2) = L のときの x が「２(1)」の答ですね。

ここでは、∠PAO = θ として
　x = d * tanθ　　　　　　①
　ばねの長さ = d/cosθ
と書く方が分かりやすいでしょう？

L < d なら
　ばねの伸び = d/cosθ - L
　復元力 = -k * (d/cosθ - L)
　復元力の x 方向の成分 = -k * (d/cosθ - L) sinθ = -k*(d*tanθ - L*sinθ)
と書けるでしょう。
　θ が微小角であれば、①は
　　x = d*θ
復元力の x 方向の成分は
　　Fx = -k * (d - L)θ
と近似できます。

従って、運動方程式は
　　ma = -k * (d - L)θ

高校物理では、単振動の公式
　　a = -ω^2 * x
を使うと思うので
　　-m * ω^2 * d*θ = -k * (d - L)θ
より
　　ω = √[ k*(d - L)/(m*d) ] = √[ (k/m)*(1 - L/d) ]
かな？
従って、単振動の周期は
　　T = 2パイ/ω

「２」は上に書いたように、ちょっと厄介。でも、少しは自分でもやってみてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/30 09:27

∠PAOをθとして、変位が x のときの

・ばねの長さ
・その復元力（自然長 L との関係で、「伸び」か「縮み」かを区別して）の大きさと方向
・復元力の x 軸方向の成分
を求めれば、あとは通常の単振動として扱えるでしょ？

「１」は、どこにあってもばねは「伸び」なので、x による場合分けは不要。Ｏを中心とした単振動になる。

「２」は、ばねの長さによって「縮み」の部分と「伸び」の部分ができ、その中間に「自然長」の部分ができる。x の正側と負側に２カ所。
Oを横切って行ったり来たりするか、x の正側あるいは負側だけで単振動するかは、初期条件によって変わる。
問題では「静かにはなす」なので、「Ｏを行ったり来たり」の運動はなさそうで、そう難しいことはないかな。