軌跡の問題の答え方

軌跡の問題を解いているのですが、
軌跡の方程式を導いたあと、逆にそのとき条件を満たすことを示すように。
と参考書に書いてあるのですが、たとえば点Ｐの軌跡(直線)を求めるときの解答では、
「逆に、この直線上の任意の点Ｐは、条件を満たす。」
とあるのですが、これはただ満たすという事実を書くだけで、証明のようにはしなくてよいのでしょうか？
それなら、こんなことを書くぐらい誰だってできるので省略して良い気がするのですが…

No.3 ベストアンサー 回答者： scale--free 回答日時： 2004/11/15 19:44

あまり高校の参考書では触れられていないのですが、

>「逆に、この直線上の任意の点Ｐは、条件を満たす。」
といった言葉を書くか、書かないかはどうのようにして解いたのかによるのです。

詳しくいうと、例えば点の軌跡を求める際に同値変形をして求めたならば書かなくていいです。しかし、必要条件を用いて点の軌跡を求めたのなら、やはり上のような言葉を書く必要がありますし、厳密には逆を証明しなくてはなりません。

つまり、軌跡の問題に限らず他の数学の問題でもそうですが、同値な条件を常に意識するということが大切です。特に軌跡などの問題では、同値性を意識しないと全く答えが合わないことがあるので要注意です。この意識があると数学の理解がぐっと深まります。

No.2 回答者： pyon1956 回答日時： 2004/11/14 09:51

実際教科書には省略してもよいと書いてあるはずですが。

ANo.1の方が書いてらっしゃるように、条件を満たす点はすべて求めた方程式の表す図形の上にありますが、この図形の上の点がすべて条件を満たすとは限らないといことです。
ただこういう場合は高校の数学では少ないので、省略したりあるいは
おっしゃるように「逆のけいさんをすればなりたつ」旨を書いて済ませることも多いわけですが、正確ではないことになります。

No.1 回答者： onakyuu 回答日時： 2004/11/13 17:39

逆が成り立つ場合にはおっしゃるとおりほとんど

自明ですが、逆が成り立たない場合もあるので確
認の意味でこのようなことを必ず書く必要がある
のです。
たとえば２つの点Ａ(-1,0)Ｂ(1,0)があって別の
点Ｃが線分ＡＣと線分ＢＣが直行すると場合のＣ
の軌跡を計算するとx^2+y^2=1の円が求まりますが
この場合逆は成り立たず、(-1,0)と(1,0)を含まな
いことを書かないと答えは×になります。