微分方程式の極座標を用いない解き方は？

2次元での距離の二乗に反比例する中心力の問題を考えます。
運動方程式は質量をm、位置ベクトルの座標を（x,y）としたとき

md^2x/dt^2=-x/(x^2+y^2)^(3/2),md^2y/dt^2=-y/(x^2+y^2)^(3/2)

となると思うのですが教科書ではよくこれを極座標を使って解いていると思います。
質問はこの微分方程式を極座標を用いないで直接x,yを積分するなどして
解くことは可能なのでしょうか？できないなら何か理由があるのですか？

ご存知の方教えてください。

質問者からの補足コメント

• 他にも誤りがあるかもしれませんが、お礼の一番最後の式
  d^2y/dt^2=-y/(m(x^2+y^2)^(3/2))=-1/(m(x^2+b^2(1-(x^2/a^2)))^(1/2)
  ->
  d^2y/dt^2=-y/(m(x^2+y^2)^(3/2))=-b(√(1-(x^2/a^2)))/(m(x^2+b^2(1-(x^2/a^2)))^(1/2)
  に訂正です。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/11/18 14:22

• エネルギー保存則をつかって安直にx^2+y^２を消去したりしてみたんですがうまくいきませんでした。ご回答にありました通りやはり解くのは難しそうです。
  
  Tex文章アップしていただいてありがとうございました。読みやすく非常にわかりやすく説明していただきありがとうございました。感謝しております。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/11/18 23:58

• エネルギー保存則
  
  1/2((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)-1/(x^2+y^2)^(1/2)=E E:定数
  
  からy'=(dy/dt)/(dx/dt),dx/dt=L/(y-xy')を用いてx,yの時間微分を消去すると
  1/2((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)=1/2(L/(y-xy'))^2(1+(y')^2)
  となるのでエネルギー保存則の式は
  
  L^2(x^2+y^2)^(1/2)(1+(y')^2)-2(1+E(x^2+y^2)^(1/2))(y-xy')^2=0
  
  となります。解が二次曲線ax^2+bx+cxy+dy^2+ey+f=0（a～f:定数）で与えられるということはxで微分すると
  y'=(x,yの一次式)/(x,yの一時式)になると思うのですが上で得られる式とどういう関係にあるかは
  よくわかりませんでした。

    補足日時：2018/11/19 16:37

• ご回答にある最後の式r＝ｈ²－ｈ(ｃ₂x－ｃ₁y)はルンゲレンツベクトルと位置ベクトルの内積をとっているのに対応しているようです。

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/11/21 00:29

• 

  syotao様、ibm_111様ありがとうございました。直交座標での軌道の微分方程式、具体的な解ともに大変参考になりました。BAは解の具体的な形を示していただいた方にしたいと思います。お二人の回答ともに有益でした。ありがとうございます。

    補足日時：2018/11/23 00:00

No.9 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/20 22:43

No.1です。

d²x/dt²＝－x/r³、d²y/dt²＝－y/r³、r＝√(x²＋y²)・・・①
ｘdy/dt－ｙdx/dt＝ｈ(一定)、・・・②
から軌道曲線が２次曲線であることを示します。
記述の簡略上、x座標、y座標、rについて
以降、時間の１回微分、２回微分をそれぞれ　*、**で表わします。
たとえばx座標の1回時間微分はx*、２回微分はx**です。
まずr²＝x²＋y²・・・③　の両辺を時間微分すると
rr*＝xx*＋yy*・・・④　になります。そうするとx/rの時間微分は
(d/dt)(x/r)＝(x*r－xr*)/r²＝(x*r²－xrr*)/r³となり③④②から
＝－ｈy/r³、さらに①から＝ｈy**、したがって
y**＝(1/ｈ)(d/dt)(x/r)が出ます。同じようにして
y/rの時間微分から
x**＝(－1/ｈ)(d/dt)(y/r)が出ます。
この２式はそれぞれ時間で積分できてそれぞれ
x*＝(－1/ｈ)(y/r)＋ｃ₁、y*＝(1/ｈ)(x/r)＋ｃ₂のようになります。
ここでｃ₁、ｃ₂は積分定数です。
このx*、y*の式を②に入れてrについて書くと
r＝ｈ²－ｈ(ｃ₂x－ｃ₁y)、となりこの両辺２乗して③に注意すれば
出てくる式はx、yの２次曲線になります。

かけ足になりましたが、どうぞ精査してみてください。

この回答へのお礼

アップしていただいてありがとうございます。
少し調べたんですがご回答にある二次元ベクトル(hc2,hc1)は
ルンゲ＝レンツベクトルという保存量見たいです。wikipediaに詳しいです。
一方エネルギー保存の式はy'の二次式になってy'について解くと
どうしてもルートが出てきてしまいます。

計算もまとめてわかりやすく説明していただいて感謝しています。
この方法だと一発で二次曲線になるのがわかりますね。

お礼日時：2018/11/21 00:16

No.10 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/21 16:36

No.1です。

エネルギー保存則がNo.9での話とどう絡むかしゃべります。
まずNo.9の①からエネルギーの式は
(1/2)(x*²＋y*²)－(１/r)＝E(一定)　となります。
この式にNo.9で出したx*＝(－1/ｈ)(y/r)＋ｃ₁、y*＝(1/ｈ)(x/r)＋ｃ₂
を入れると、定数間だけの関係
c₁²＋c₂²＝(1＋2Eｈ²)/ｈ²　が出てきます。
実はNo.9の２次曲線の式
r＝ｈ²－ｈ(ｃ₂x－ｃ₁y)、を極座標で表わすと上の定数間の関係式から
√(1＋2Eｈ²)がこの２次曲線の離心率ｅを表わすことが出てきます。
実際、Ｅ＜0、＝0、＞0にともない、このｅは＜1、＝1、＞1
なのでそれぞれの場合、だ円、放物線、双曲線になるという
知られている結果が出ます。

ルンゲレンツベクトル云々についてはまったく知りませんでした。
どんなものか調べてみたいと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。ルンゲレンツベクトルがらみでは離心率はルンゲレンツベクトルの大きさにあたるようです。ご回答にありましたc₁²＋c₂²＝(1＋2Eｈ²)/ｈ²の両辺にh^2をかけると左辺がルンゲレンツベクトルの大きさの二乗になります。(No.9の回答のお礼の部分2次元ベクトルの部分は(hc2,-hc1)に訂正します。）

このベクトルについては英語のwikipediaのほうが説明が詳しいと思います。No.9のご回答にありました式x*＝(－1/ｈ)(y/r)＋ｃ₁、y*＝(1/ｈ)(x/r)＋ｃ₂は速度ベクトル(x*,y*)が円上にあることを示していると思いますがこれについてもwikipediaに記述があります。
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%E2%80%93Ru …

お礼日時：2018/11/21 19:36

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/19 22:42

No.1です。

そこでぼくのあげた書物のなかでは
最初の方程式
md^2x/dt^2=-x/(x^2+y^2)^(3/2),md^2y/dt^2=-y/(x^2+y^2)^(3/2)
から軌道曲線が２次曲線になるのを導くのには
角運動量保存則を使っています。つまり
ｘdy/dt－ｙdx/dt＝ｈ(一定)、これは
d/dt(ｘdy/dt－ｙdx/dt)＝0　からすぐ出ます。
あと上の３式から軌道の方程式を導くのは明日になります。

なお実はぼくはこの書物は持っていなくて今述べたやり方の詳細は
忘れていたのですが、今なんとか思い出してノートにしたので
それを明日上げに来ます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。エネルギーの保存は使わないんですね。計算していただいてありがとうございます。特に急がないのでお時間の空いている時いつでも結構です。ありがとうございます。

お礼日時：2018/11/20 00:21

No.7 回答者： ibm_111 回答日時： 2018/11/18 21:31

得られた式を解くのは難しいですね。

うまい変換があると思うんですが

この回答へのお礼

おおお．．．ありがとうございます。後はエネルギー保存則を使うと得られた式が簡単になるのかな？試してみたいと思います。感謝します。

お礼日時：2018/11/18 22:09

No.6 回答者： ibm_111 回答日時： 2018/11/18 21:29

1枚め

No.5 回答者： ibm_111 回答日時： 2018/11/17 21:09

それで、「バックワードで確認という手順」、これはよく考えると微妙ですね

※texのアップはまた後ほど

例として、y'=yという方程式を解くことを考えます。
解は、y=exp(x)であることが分かっているとすると、
(exp(x))'=exp(x)
exp(x)=exp(x)

これをバックワード、つまり、逆順に見ていくと、
exp(x)=exp(x)
(exp(x))'=exp(x)
y=exp(x)とおくと、
y'=y

ま、まぁ確かに成り立ちますが、全然解いているという気はしません。
解答から逆に辿っていってどこがクリティカルに効いているかを見るというのは
よくやると思いますが、この場合はうまくいかないようです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。了解しました。Texのアップはもしお時間があればということでお願いします。逆にたどるのが難しそうということ教えていただいただけでも満足です。ありがとうございました。

お礼日時：2018/11/17 21:32

No.4 回答者： ibm_111 回答日時： 2018/11/17 20:15

そんなに大した話じゃないです。

texを画像化したものをアップするので、１〜２日ぐらい締め切らずにお待ちください

この回答へのお礼

了解しました。ありがとうございます。お手数おかけしてすいません。自分のした計算は下のものです。

先にご回答いただいた一回微分：dx/dt=c√(1-x^2/a^2)/b　c:定数
xに関する微分方程式：d^2x/dt^2=-x/(m(x^2+b^2(1-(x^2/a^2)))^(3/2)

これをd^2y/dt^2=-b(a^2(dx/dt)+x(a^2-x^2)(d^2x/dt^2))/(a^2(a^2-x^2)√(1-x^2/a^2))
の右辺に代入して計算すると

d^2y/dt^2=(b^2x^2-c^2m(x^2+b^2(1-(x^2/a^2)))^3/2)/(a^2bm√(1-x^2/a^2)(x^2+b^2(1-(x^2/a^2)))^3/2)

これとは別にもとのyに関する微分方程式

d^2y/dt^2=-y/(m(x^2+y^2)^(3/2))=-1/(m(x^2+b^2(1-(x^2/a^2)))^(1/2)

ここからどうしていいかわかりませんでした。

お礼日時：2018/11/17 20:53

No.3 回答者： ibm_111 回答日時： 2018/11/17 17:36

なるほど、ちょっと難しいですね・・・

あまり真面目に計算してないですが、以下のロードマップでいかがでしょう

1.　dy/dx　=　yの時間微分／xの時間微分
　　d^2y/dx^2を計算し、これをy''と書く。
　　yの2階時間微分=・・・を求めておく・・・※
2.　md^2y/dt^2=-y/(x^2+y^2)^(3/2)に※を代入
　　このままではxの時間微分が消せないので困る。
　　（というのが、お礼の指摘と同じ箇所のはず）
3.　【解決策】
　　md^2x/dt^2=-x/(x^2+y^2)^(3/2),md^2y/dt^2=-y/(x^2+y^2)^(3/2)
　　の式において、辺辺割り算すると、
　　xの2階時間微分／yの2階時間微分　=　x/y
　　なので、
　　(xの2階時間微分)y−(yの2階時間微分)x　=　0
　　したがって、
　　(xの1階時間微分)y−(yの1階時間微分)x　=　const.
　　両辺を(xの1階時間微分)で割ると、
　　y−y' x　=　const./(xの1階時間微分)
　　したがって、(xの1階時間微分)=なんとか、の式を得ることができて、
　　2.で得た式に代入すると、めでたく時間微分が消えた式が得られます。

あとは、先に説明した方法でバックワードで確認していけばいいのではないかと。
（ここから先は未確認）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。計算をすこししてみたんですが途中から何をしてるかわからなくなりました。せっかくご回答いただきましたのに申し訳ありません。バックワードで確認という手順もよくわかりませんでした。すいません。

お礼日時：2018/11/17 19:49

No.2 回答者： ibm_111 回答日時： 2018/11/17 14:42

理論的にはできるはずです。

例えば、楕円軌道を前提として、解が
y=b√(1-(x/a)^2)
と書けたとすると、
md^2x/dt^2=-x/(x^2+y^2)^(3/2),md^2y/dt^2=-y/(x^2+y^2)^(3/2)
に代入して、等号が成り立つことを確認し、
バックワードにどのような変形がなされていったかを確認すればいいでしょう。

ただ、直交座標系を用いるとすると、
特殊な場合を除き、どうしても微分不可能な点（dy/dxが発散）が出現してしまうので
それを嫌っているというのはあると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。「md^2x/dt^2=-x/(x^2+y^2)^(3/2),md^2y/dt^2=-y/(x^2+y^2)^(3/2)に代入して、等号が成り立つことを確認し」というところがよくわかってないのですがy=b√(1-(x/a)^2)の両辺を2回、時間で微分してｘ、ｙそれぞれの時間微分のところを運動方程式の右辺を使って書き換えるということでしょうか？

y=b√(1-(x/a)^2)を微分するとd^2y/dt^2=-b(a^2(dx/dt)+x(a^2-x^2)(d^2x/dt^2))/(a^2(a^2-x^2)√(1-x^2/a^2))となりdx/dtがのこってしまい等号が確認できないように思えます。

何か誤解しているようでしたら、ご教示ください。

お礼日時：2018/11/17 15:51

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2018/11/17 12:07

むかし講談社から出てた

ゾンマーフェルト、理論物理学講座、第１巻力学
にその基本方程式から出発する記述がありますが
ただ最終的には軌道の方程式が極座標で表わされています。
しかし、記述を追っていけば極座標を使うのが自然であると
納得できるかと思いますが.....。
ま、一度は見てみる価値あるかと、
ただ上掲書は絶版になっていると思うので図書館の蔵書を検索されては？

この回答へのお礼

ありがとうございます。紹介していただいた本、図書館等でみてみます。

例えば上の式で1/(x^2+y^2)^(3/2)=1とした微分方程式
md^2x/dt^2=-x,md^2y/dt^2=-y
は、極座標を用いなくとも解けてしまいます。1/(x^2+y^2)^(3/2)があると
x又はｙだけの微分方程式にできないということなのかなと
思ったりするのですがよくわかりません。

お礼日時：2018/11/17 13:25