No.3ベストアンサー
- 回答日時:
E[X] = (1/n)Σ[i=1~n]Xi = μ
分散は、「平均」との差を「2乗」したものの平均で、要するに「平均値からのばらつき」を表わします。
V[X] = (1/n)Σ[i=1~n](Xi - μ)^2
分散はもとの X の次元の「2乗」になるので、X と同じ次元になるように平方根をとったものが「標準偏差」です。
σ = √V
これさえ分かればできるはず。
① E[-X] = (1/n)Σ[i=1~n](-Xi) = -(1/n)Σ[i=1~n]Xi = -μ
② 上の①の結果から -X の平均値は -μ ですから
V[-X] = (1/n)Σ[i=1~n][-Xi - (-μ)]^2 = (1/n)Σ[i=1~n](-Xi + μ)^2 = (1/n)Σ[i=1~n](Xi - μ)^2 = V[X] = σ^2
設問が「μ と σ で表わせ」なので、V[X] のままではダメです。
③~⑧:同様に V[X] = σ^2 とすれば合っています。
⑨⑩ ここまでが分かっていれば
(X - 3)/2 = (1/2)X - 3/2
とすれば分かるでしょ?
⑪ これでは答になっていません。E(X^2) とは?
定義に戻って
E[X^2] = (1/n)Σ[i=1~n](Xi^2)
です。ここで、そもそもの V[X] を見てみれば
V[X] = (1/n)Σ[i=1~n](Xi - μ)^2
= (1/n)Σ(Xi^2 - 2μXi + μ^2) ←2乗を展開。Σの範囲は省略します。
= (1/n)ΣXi^2 - (1/n)Σ2μXi + (1/n)Σμ^2 ←各々の和に展開。
= (1/n)ΣXi^2 - 2μ(1/n)ΣXi + (1/n)(μ^2 * n) ←第2項の定数部分を抜き出し、第3項は定数の和。
= (1/n)ΣXi^2 - 2μ*μ + μ^2 ←第2項の総和は平均値。
= (1/n)ΣXi^2 - μ^2
ということが分かりますか?
つまり
(1/n)ΣXi^2 = V[X] + μ^2
と書けますから
E[X^2] = σ^2 + μ^2
です。
従って
E[2X^2] = 2 * E[X^2] = 2σ^2 + 2μ^2
No.4
- 回答日時:
No.3です。
「補足」その2について。はい、合っていると思います。
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