出産前後の痔にはご注意!

画像のように教科書では方向微分係数を定義してあるのですが、
①画像のように、f(x,y)=√(x^2+y^2)sin3θ(x.y)(ただし、θ(x,y)とはOと(x、y)とを結ぶ直線とx軸の正方向となす角とする)に対して方向微分が(x、y)=(tcosθ0,tsinθ0)という直線上では、f(x,y)=tsin3θ0となるからあらゆる方向に方向微分可能というのがわかりません。
どのように計算しているのでしょうか?
②また、(0,0)でのx、yでの偏微分係数が0、-1となるのもピンときません。
おしえてください。

「方向微分係数」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • ③{f(x,y)ー(-x)}/√x^2+y^2→0((x、y)→(0,0))かどうかがOでf(x,y)は全微分可能かどうかの定義だと思うのですが、ここでは、「z=-xとの差はxに対し無視できる無限小ではない」とあります。なぜ、「xに対し」としてあるのでしょうか?

    「方向微分係数」の補足画像1
      補足日時:2018/11/28 00:59

A 回答 (1件)

f(x,y)=√(x^2+y^2)sin(3θ(x.y))


(ただし、θ(x,y)とはOと(x,y)とを結ぶ直線とx軸の正方向となす角とする)
に対して方向微分が(x,y)=(tcos(θ0),tsin(θ0))という直線上では、f(x,y)=tsin(3θ0)となり
t=√(x^2+y^2)だから
θ0方向微分は
lim_{t→+0}{f(x,y)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(3θ0)}/t
=sin(3θ0)
となるからあらゆる方向に方向微分可能である.

(0,0)でのxでの偏微分とはx軸方向微分だからθ0=0だから
f_x(0,0)
=lim_{t→+0}{f(t,0)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(0)}/t
=sin(0)
=0

(0,0)でのyでの偏微分とはy軸正方向微分だから
y軸正方向とx軸正方向となす角は
θ0=π/2だから
f_y(0,0)
=lim_{t→+0}{f(0,y)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(3π/2)}/t
=sin(3π/2)
=-1

t=√(x^2+y^2)
θ0=0とすると
(x,y)=(tcos(0),tsin(0))=(t,0)だから

lim{t→0}{f(x,y)-(-x)}/√(x^2+y^2)
=lim{t→0}{f(t,0)-(-t)}/t
=lim{t→0}{tsin(0)-(-t)}/t
=lim{t→0}t/t
=1
はxに対し無視できる無限小ではない
θ0=0の方向なので
y=tsin(0)=0
だから
「xに対し」としてある
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2018/12/07 23:27

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(2)
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不等式に戻れば 該当するのはx=7を除く全域⇔x<7,x<x となります。

下の画像の式も同じ要領で考えることが出来ます。^-^

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Pのy座標はy=x²-14x+49にx=tを代入してt²-14t+49であるから
Pの座標は(t,t²-14t+49)である。
でも、文字の種類が何であろうと本質は変わらないから、tを使わずに文字xのままで
放物線y=x²-14x+49上の点Pの座標は(x,x²-14x+49)であると言っても大差はない。
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Aベストアンサー

min と max が場合分けを含みますね。
min(a,b) = { (a≦bのとき) a
      { (a≧bのとき) b,
max(a,b) = { (a≦bのとき) b
      { (a≧bのとき) a,
だから、
f(x) = { (x≦0のとき) x
    { (x≧0のとき) 0,
h(x) = { (x≦0のとき) 0
    { (x≧0のとき) x.
です。

ひとつの積分記号の下ではこの場合分けが揃うように
積分区間を分割すれば、計算が進められるようになります。

1.
x≦0 のとき、積分区間の t は x≦t≦0 で
このとき f(t) = t だから、
F(x) = ∫(0→x)tdt = (x^2)/2.

x≧0 のとき、積分区間の t は 0≦t≦x で
このとき f(t) = 0 だから、
F(x) = ∫(0→x)0dt = 0.

2.
t-π の符合で f(t-π) を場合分けする必要があります。
x≦π のとき、積分区間の t は t≦π で
このとき f(t-π) = t-π だから、
G(x) = ∫(0→x)cos(t-π)dt = -sin(x).

x≧π のとき、0≦t≦π では f(t-π) = t-π,
π≦t≦x では f(t-π) = 0 だから、
G(x) = ∫(0→π)cos(t-π)dt + ∫(π→x)cos(0)dt
= -sinπ + ∫(π→x)dt = 0 + (x - π) = x - π.

4.
x≦0 のとき、積分区間の t は t≦x≦0 で
このとき h(t) = 0 だから、
H(x) = ∫(-∞→x)0dt = 0.

x≧0 のとき、t≦0 では h(t) = 0,
0≦t≦x では h(t) = t だから、
H(x) = ∫(-∞→0)0dt + ∫(0→x)tdt
= 0 + (x^2)/2.

5.
x≦0 のとき、積分区間の t は t≦x≦0 で
このとき h(t) = 0, h(-t) = -t だから、
I(x) = ∫(0→x){0+(-t)}dt = -(x^2)/2.

x≧0 のとき、積分区間の t は 0≦t≦x で
このとき h(t) = t, h(-t) = 0 だから、
I(x) = ∫(0→x){t+0}dt = (x^2)/2.

3.
x の符合によらず f(x) + f(-x) = x + 0 なので、
g(x) = 1/(1 - x^2) = (1/2){ 1/(1-x) + 1/(1+x) } です。
右辺を見れば、x=±1 で微分不能、他では可能とわかります。

6.
x<0 のとき、h(x) = 0, h(-x) = -x より
i(x) = {1-(-x)}/{1+0} = 1+x です。
これは、x<0 の全域で微分可能です。

x>0 のとき、h(x) = x, h(-x) = 0 より
i(x) = {1-0}/{1+x} = 1/(1+x) です。
これは、x>0 の全域で微分可能です。

x=0 のとき、
lim[x→-0]{i(x)-i(0)}/(x-0) = lim[x→-0]{(1+x)-1}/x = 1,
lim[x→+0]{i(x)-i(0)}/(x-0) = lim[x→+0]{1/(1+x)-1}/x = -1.
一致しないので、i(x) は微分不能です。

やけくそに分量がありましたね。

min と max が場合分けを含みますね。
min(a,b) = { (a≦bのとき) a
      { (a≧bのとき) b,
max(a,b) = { (a≦bのとき) b
      { (a≧bのとき) a,
だから、
f(x) = { (x≦0のとき) x
    { (x≧0のとき) 0,
h(x) = { (x≦0のとき) 0
    { (x≧0のとき) x.
です。

ひとつの積分記号の下ではこの場合分けが揃うように
積分区間を分割すれば、計算が進められるようになります。

1.
x≦0 のとき、積分区間の t は x≦t≦0 で
このとき f(t) = t だから、
F(x) = ∫(0→x)tdt = (x^2)/2.

x≧0 のとき、積分区...続きを読む

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