方向微分係数

画像のように教科書では方向微分係数を定義してあるのですが、
①画像のように、ｆ（x,y)=√(x^2+y^2)sin3θ（x.y)（ただし、θ（ｘ,y)とはOと（ｘ、ｙ）とを結ぶ直線とx軸の正方向となす角とする）に対して方向微分が（ｘ、ｙ）＝(tcosθ０,tsinθ０）という直線上では、f(x,y)=tsin3θ０となるからあらゆる方向に方向微分可能というのがわかりません。
どのように計算しているのでしょうか？
②また、（０，０）でのｘ、ｙでの偏微分係数が０、－１となるのもピンときません。
おしえてください。

質問者からの補足コメント

• ③｛ｆ（x,y)ー（－ｘ）｝/√ｘ＾２＋ｙ＾２→０（（ｘ、ｙ）→（０，０））かどうかがOでｆ（x,y)は全微分可能かどうかの定義だと思うのですが、ここでは、「ｚ＝－ｘとの差はｘに対し無視できる無限小ではない」とあります。なぜ、「ｘに対し」としてあるのでしょうか？

  
    補足日時：2018/11/28 00:59

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/11/30 09:32

f(x,y)=√(x^2+y^2)sin(3θ(x.y))

(ただし、θ(x,y)とはOと(x,y)とを結ぶ直線とx軸の正方向となす角とする)
に対して方向微分が(x,y)=(tcos(θ0),tsin(θ0)）という直線上では、f(x,y)=tsin(3θ0)となり
t=√(x^2+y^2)だから
θ0方向微分は
lim_{t→+0}{f(x,y)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(3θ0)}/t
=sin(3θ0)
となるからあらゆる方向に方向微分可能である.

(0,0)でのxでの偏微分とはx軸方向微分だからθ0=0だから
f_x(0,0)
=lim_{t→+0}{f(t,0)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(0)}/t
=sin(0)
=0

(0,0)でのyでの偏微分とはy軸正方向微分だから
y軸正方向とx軸正方向となす角は
θ0=π/2だから
f_y(0,0)
=lim_{t→+0}{f(0,y)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(3π/2)}/t
=sin(3π/2)
=-1

t=√(x^2+y^2)
θ0=0とすると
(x,y)=(tcos(0),tsin(0))=(t,0)だから

lim{t→0}{f(x,y)-(-x)}/√(x^2+y^2)
=lim{t→0}{f(t,0)-(-t)}/t
=lim{t→0}{tsin(0)-(-t)}/t
=lim{t→0}t/t
=1
はxに対し無視できる無限小ではない
θ0=0の方向なので
y=tsin(0)=0
だから
「xに対し」としてある

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2018/12/07 23:27