標準正規分布f(x)=1/√(2π)exp(-σ^2/2)に従う独立同一分布のn個の標本X1,X2,

標準正規分布f(x)=1/√(2π)exp(-σ^2/2)に従う独立同一分布のn個の標本X1,X2,...,Xnの標本平均をXbarとする。
1.標本平均Xbarが正規分布に従うことを示せ。
2.標本平均Xbarの期待値を導出せよ。
3.標本平均の分散V(Xbar)を導出せよ。
という問題がどう解いて良いのか分かりません。教えて下さい。お願いします。

質問者からの補足コメント

• 問題の修正です。
  f(x)=1/√(2π)exp(-σ^2/2)ではなく、
  f(x)=1/√(2π)exp(-x^2/2)です。

    補足日時：2018/12/10 13:01

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/12/12 18:45

回答が付きませんね。

1. 正規分布の「線形性」：
　X が正規分布に従えば、aX + b （a, b：任意の定数）も正規分布に従う
を示せばよいのではないでしょうか。
https://to-kei.net/distribution/normal-distribut …

　それが示せれば
　　Xbar = (X1 + X2 + ･･･ + Xn)/n
も正規分布に従うといえます。

あるいは、「中心極限定理」そのものでもよいのかもしれません。
https://bellcurve.jp/statistics/course/8543.html

2. E[Xbar] = E[ (X1 + X2 + ･･･ + Xn)/n ]
　= (1/n)E[ X1 + X2 + ･･･ + Xn ]
　= (1/n){ E[X1] + E[X2] + ･･･ + E[Xn] }
　= (1/n){ 0 + 0 + ･･･ + 0 }
　= 0

3. X1, X2, ･･･ Xn はランダム（互いに独立）なので
V[Xbar] = V[ (X1 + X2 + ･･･ + Xn)/n ]
　= (1/n)^2 V[ X1 + X2 + ･･･ + Xn ]
　= (1/n)^2 { V[X1] + V[X2] + ･･･ + V[Xn] }
　= (1/n)^2 { 1 + 1 + ･･･ + 1 }
　= 1/n

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2018/12/10 00:00

回答が付かないから、書きますけど、

最初のf(x)の定義がxを含んでいなので、誰だって、どう解いて良いのか分からないと思います。