統計学についてです。

解答お願いします
ある会社が販売している牛乳１リットルに含まれる脂質量は正規分布しているとします。無作為に10パックを調べて脂質を計測したところ、標本標準偏差は５mgでした。母標準偏差の95%信頼区間として正しいものを以下から選びなさい。

A. 3.31から8.32

B. 3.65から8.22

C. 3.44から9.13

D. いずれでもない

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/12/12 16:04

母分散の区間推定というのは、あまりやりませんね。

標本分散から求めた「不偏分散」が母分散の推定値になるので、その「信頼区間」まで求めることはあまりやらないと思います。

複数の標本から、元の母分散が「等しい」といえるかを調べるときに「F分布」「F検定」というものを行いますが、そのときの「信頼区間」が今回の問題に近いかもしれません。
「F検定」をするときの、一方の分散が「母分散」を考えれば、「F分布」を使って解くこともできるかもしれません。

ただし、ここでは「ある一定の母分散」をもつ母集団から抽出した標本の分散の「偏差」の発生確率を考える「カイ二乗分布」が、この問題では一番手っ取り早そうです。
↓　参考サイト
https://bellcurve.jp/statistics/course/9212.html

ここでは、母分散 σ^2 に対する標本の二乗偏差 n*s^2 の比は「自由度 (n - 1) のカイ二乗分布」するという特性を使う。

　χ^2 = n*s^2 /σ^2

ここで、n=10、s^2 = 25 なので

　χ^2 = 250 /σ^2

「自由度 (n - 1) のカイ二乗分布」で、
・上側確率が 0.025 以上となるカイ二乗値は 19.0228
・下側確率が 0.025 以上となるカイ二乗値は 2.70039

これを使えば、σ^2 の95%信頼区間は
　250/19.0228 ≦ σ^2 ≦ 250/2.70039
→　13.1421 ≦ σ^2 ≦ 92.5792
標準偏差 σ では
　3.63 ≦ σ ≦ 9.62

これだと、選択肢にはないですな。この場合には「選択肢 D」かな。

万が一、ということで、与えられた「標本標準偏差は５mg」が実は「不偏分散の平方根」だと解釈すると、使うのは「標本サイズ：n」ではなく「n - 1」（この問題の場合には 10 - 1 = 9）で、
　χ^2 = 25*9 /σ^2 = 225/σ^2
となり、これを使うと
σ^2 の95%信頼区間は
　225/19.0228 ≦ σ^2 ≦ 225/2.70039
→　11.828 ≦ σ^2 ≦ 83.321
標準偏差 σ では
　3.44 ≦ σ ≦ 9.13

これだと「選択肢 Ｃ」になりますね。

「標本標準偏差」や「不偏標準偏差」の呼び方は、本や書き手によっていろいろなものを指すケースがあるようで、「不偏標準偏差」も正確には「不偏分散の平方根」ではないし、標本そのものの標準偏差・分散と不偏分散も別物なのですが、この辺の「呼び名」は結構いい加減に使われることが多いようです。
ここでは、どうやら、与えられた「標本標準偏差」を「不偏分散の平方根」というものを指すのに使われているようです。
私のような浅学者にとってはとても混乱して困ったことなのですが。

この辺の用語の使い方は、質問者さんの先生なりテキストではどうなっていますか？　もし分かれば教えてください。

上記の用語の使い方や、上の問題の解き方がおかしいのは、ひょっとすると私の間違い・思い違いかもしれないので、この辺に詳しい専門家のご意見を伺えれば幸甚です。


念のため、上記の問題を「F分布」を使っても解いてみます。

＞標本標準偏差は５mg

これを「不偏分散の平方根」と考えると、不偏分散は
　5^2 = 25

母分散を V とすると
　F = V/25
として「自由度 (∞, 9) のF分布」で「信頼度95％」（上側確率 0.025）となる F を求めると、下記の「F分布表」より
　F = 3.3329
従って、母集団の分散の「95％信頼区間」の上限は
　V = 25 * 3.3329 ≒ 83.3323
よって、標準偏差としては
　σ = √V = 9.13

下限確率を求めるために
　F = 25/V
として「自由度 (9, ∞) のF分布」で「信頼度95％」（上側確率 0.025）となる F を求めると、下記の「F分布表」より
　F = 2.1136
従って、母集団の分散の「95％信頼区間」の下限は
　V = 25 / 2.1136 ≒ 11.828

よって、標準偏差としては
　σ = √V = 3.44

よって、母標準偏差の95％信頼区間は
　3.44 ≦ σv≦ 9.13


このように、与えられた「標本標準偏：５mg」を「不偏分散の平方根」だと解釈すると、カイ二乗分布とＦ分布を使った結果は、上のとおり「選択肢Ｃ」に一致します。