二次関数の問題です 二次関数 y=－1／2xの2乗 + 2ax －aの2乗 +4a ‥① がある。

二次関数の問題です

二次関数 y=－1／2xの2乗 + 2ax －aの2乗 +4a ‥①
がある。
①の0≦ｘ≦1における最小値をm(a)、最大値をM(a)とする。ただしaは定数とする。


【問題】
(1)①のグラフの軸の方程式をもとめよ

(2)m(a)を求めよ。またm(a)の最大値とその時のaの値を求めよ。

(3)M(a)を求めよ。またM(a)=2となるときのaの値を求めよ。

【解答】
(1)ｘ=2

(2)a＜1／4の時、m(a)=－aの2乗＋6a－1／2
a≧1／4の時、m(a)=－aの2乗＋4a
また、a=2で最大値4をとる

(3)a＜0の時、M(a)=－aの2乗＋4a
0≦a≦1／2の時、M(a)=aの2乗＋4a
a＞1／2の時、M(a)=－aの2乗＋6a－1／2
また、a=－2＋√6、(6+√26)／2


(1)と(2)は理解できました。
(3)のM(a)を求めるところまでは理解できました。
M(a)=2となるときのaの値が求められません。
まず、写真のようなグラフがかけません。

なぜこのようなグラフになるのか教えてください。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/07/28 09:06

a<0 のとき　M(a)=－a^2+4a

0≦a≦1/2 のとき　M(a)=a^2+4a
1/2<a のとき　M(a)=－a^2+6a－1/2
が理解できたのであれば、それぞれ式変形してグラフがかけると思うのですが・・・

(i)　a<0 のとき
M(a)=－a^2+4a
=－(a^2-4a)
=－{(a－2)^2－4}
=－(a－2)^2+4　　⇐　頂点(2, 4)、上に凸　(赤線)

M(0)=0


(ii)　0≦a≦1/2 のとき
M(a)=a^2+4a
=(a+2)^2－4　　⇐　頂点(－2, 4)、下に凸　(青線)

M(0)=0
M(1/2)=1/4+2＝9/4


(iii)　1/2<a のとき
M(a)=－a^2+6a－1/2
=－(a^2－6a)－1/2
=－{(a－3)^2－9}－1/2
=－(a－3)^2+9－1/2
=－(a－3)^2+17/2　　⇐　頂点(3, 17/2)、上に凸　(緑線)

M(1/2)=－1/4+3－1/2=9/4


それぞれの範囲のグラフをかけば、３つのグラフはつながり、写真のグラフになります。


M(a)=2 (ピンク線) のグラフをかくと、
(ii) のときのグラフと (iii) のときのグラフと交わります。

これから、M(a)=2 となるａの値は

(ii) のとき
a^2+4a=2
a^2+4a－2=0
解の公式を使って
a=－4±√16+8/2=－2±√6
0≦a≦1/2 より
a=－2+√6

(iii) のとき
－a^2+6a－1/2=2
a^2－6a+5/2=0
2a^2－12a+5=0
解の公式を使って
a=12±√144－40/2=6±√26
1/2<a より
a=6+√26

この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございます！！！
理解できました！助かりました！‎☺︎

お礼日時：2017/07/30 10:16