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二次関数の問題です

二次関数 y=-1/2xの2乗 + 2ax -aの2乗 +4a ‥①
がある。
①の0≦x≦1における最小値をm(a)、最大値をM(a)とする。ただしaは定数とする。


【問題】
(1)①のグラフの軸の方程式をもとめよ

(2)m(a)を求めよ。またm(a)の最大値とその時のaの値を求めよ。

(3)M(a)を求めよ。またM(a)=2となるときのaの値を求めよ。

【解答】
(1)x=2

(2)a<1/4の時、m(a)=-aの2乗+6a-1/2
a≧1/4の時、m(a)=-aの2乗+4a
また、a=2で最大値4をとる

(3)a<0の時、M(a)=-aの2乗+4a
0≦a≦1/2の時、M(a)=aの2乗+4a
a>1/2の時、M(a)=-aの2乗+6a-1/2
また、a=-2+√6、(6+√26)/2


(1)と(2)は理解できました。
(3)のM(a)を求めるところまでは理解できました。
M(a)=2となるときのaの値が求められません。
まず、写真のようなグラフがかけません。

なぜこのようなグラフになるのか教えてください。
お願いします。

「二次関数の問題です 二次関数 y=-1/」の質問画像
教えて!goo グレード

A 回答 (1件)

a<0 のとき M(a)=-a^2+4a


0≦a≦1/2 のとき M(a)=a^2+4a
1/2<a のとき M(a)=-a^2+6a-1/2
が理解できたのであれば、それぞれ式変形してグラフがかけると思うのですが・・・

(i) a<0 のとき
M(a)=-a^2+4a
=-(a^2-4a)
=-{(a-2)^2-4}
=-(a-2)^2+4  ⇐ 頂点(2, 4)、上に凸 (赤線)

M(0)=0


(ii) 0≦a≦1/2 のとき
M(a)=a^2+4a
=(a+2)^2-4  ⇐ 頂点(-2, 4)、下に凸 (青線)

M(0)=0
M(1/2)=1/4+2=9/4


(iii) 1/2<a のとき
M(a)=-a^2+6a-1/2
=-(a^2-6a)-1/2
=-{(a-3)^2-9}-1/2
=-(a-3)^2+9-1/2
=-(a-3)^2+17/2  ⇐ 頂点(3, 17/2)、上に凸 (緑線)

M(1/2)=-1/4+3-1/2=9/4


それぞれの範囲のグラフをかけば、3つのグラフはつながり、写真のグラフになります。


M(a)=2 (ピンク線) のグラフをかくと、
(ii) のときのグラフと (iii) のときのグラフと交わります。

これから、M(a)=2 となるaの値は

(ii) のとき
a^2+4a=2
a^2+4a-2=0
解の公式を使って
a=-4±√16+8/2=-2±√6
0≦a≦1/2 より
a=-2+√6

(iii) のとき
-a^2+6a-1/2=2
a^2-6a+5/2=0
2a^2-12a+5=0
解の公式を使って
a=12±√144-40/2=6±√26
1/2<a より
a=6+√26
「二次関数の問題です 二次関数 y=-1/」の回答画像1
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この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございます!!!
理解できました!助かりました!‎☺︎

お礼日時:2017/07/30 10:16

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